《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $，当 $ y = 0 $ 时，得到一元二次方程________，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与______轴交点的______坐标。

答案：

2. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象与 $ x $ 轴的交点情况决定一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 的根的情况：
当 $ b^{2}-4ac $______ $ 0 $，抛物线与 $ x $ 轴有两个交点；
当 $ b^{2}-4ac $______ $ 0 $，抛物线与 $ x $ 轴只有一个交点(此时抛物线的顶点在 $ x $ 轴上)；
当 $ b^{2}-4ac $______ $ 0 $，抛物线与 $ x $ 轴没有交点。
反之亦成立。

答案：

1. 若一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 的两个根为 $ x_{1}=-3 $，$ x_{2}=1 $，则抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴的两个交点间的距离及抛物线的对称轴为（ ）

A.$ 2 $，直线 $ x = -2 $
B.$ 4 $，直线 $ x = -1 $
C.$ 6 $，直线 $ x = -3 $
D.$ 8 $，直线 $ x = 1 $

答案：

2. 已知二次函数 $ y = x^{2}-3x + m $（$ m $ 为常数）的图象与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (1,0) $，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x + m = 0 $ 的两个实数根是（ ）

A.$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-1 $
B.$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=2 $
C.$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=0 $
D.$ x_{1}=1 $，$ x_{2}=3 $

答案：

3. 若抛物线 $ y = kx^{2}-7x - 7 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点，则 $ k $ 的取值范围是（ ）

A.$ k\geqslant-\frac{7}{4} $
B.$ k\geqslant-\frac{7}{4} $，且 $ k\neq0 $
C.$ k＞-\frac{7}{4} $
D.$ k＞-\frac{7}{4} $，且 $ k\neq0 $

答案：

4. 已知 $ m＞0 $，关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (x + 1)(x - 2)-m = 0 $ 的解为 $ x_{1} $，$ x_{2}(x_{1}＜x_{2}) $，则下列结论正确的是（ ）

A.$ x_{1}＜-1＜2＜x_{2} $
B.$ -1＜x_{1}＜2＜x_{2} $
C.$ -1＜x_{1}＜x_{2}＜2 $
D.$ x_{1}＜-1＜x_{2}＜2 $

答案：

5. 已知二次函数 $ y=(x - a - 1)(x - a + 1)-3a + 7 $（其中 $ x $ 是自变量）的图象与 $ x $ 轴没有公共点，且当 $ x＜-1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减少，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）

A.$ a＜2 $
B.$ a＞-1 $
C.$ -1＜a\leqslant2 $
D.$ -1\leqslant a＜2 $

答案：

6. 如果抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $（$ a $，$ b $，$ c $ 是常数），$ a＞0 $，顶点坐标为 $ (\frac{1}{2},m) $，给出下列结论：① 若点 $ (n,y_{1}) $ 与 $ (\frac{3}{2}-2n,y_{2}) $ 在该抛物线上，当 $ n＜\frac{1}{2} $ 时，则 $ y_{1}＜y_{2} $；② 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-bx + c - m + 1 = 0 $ 无实数解。那么（ ）

A.①正确，②正确
B.①正确，②错误
C.①错误，②正确
D.①错误，②错误

答案：

7. 如图是函数 $ y = x^{2}-2x - 3(0\leqslant x\leqslant4) $ 的图象，直线 $ l// x $ 轴且过点 $ (0,m) $，将该函数在直线 $ l $ 上方的图象沿直线 $ l $ 向下翻折，在直线 $ l $ 下方的图象保持不变，得到一个新图象。若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于 $ 5 $，则 $ m $ 的取值范围是（ ）

A.$ m\geqslant1 $
B.$ m\leqslant0 $
C.$ 0\leqslant m\leqslant1 $
D.$ m\geqslant1 $ 或 $ m\leqslant0 $

答案：

8. 如图，在平面直角坐标系上有一顶点为 $ A $ 的抛物线，此抛物线与方程式 $ y = 2 $ 的图形交于 $ B $，$ C $ 两点，$ \triangle ABC $ 为正三角形。若点 $ A $ 坐标为 $ (-3,0) $，则此抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标为（ ）

A.$ (0,\frac{9}{2}) $
B.$ (0,\frac{27}{2}) $
C.$ (0,9) $
D.$ (0,19) $

答案：

1. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象如图所示，下列结论：① $ b＞0 $；② $ a - b + c = 0 $；③ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c + 1 = 0(a\neq0) $ 有两个不相等的实数根；④ 当 $ x＜-1 $ 或 $ x＞3 $ 时，$ y＞0 $。其中结论正确的是________（填序号）。

答案：

2. 已知函数 $ y=\begin{cases}-x^{2}+2x(x＞0)\\x(x\leqslant0)\end{cases} $ 的图象如图所示，若直线 $ y = x + m $ 与图象恰有三个不同的交点，则 $ m $ 的取值范围为________。

答案：

3. 抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $（其中 $ b $，$ c $ 是常数）过点 $ A(2,6) $，且抛物线的对称轴与线段 $ y = 0(1\leqslant x\leqslant3) $ 有交点，则 $ c $ 的值不可能是（ ）

A.$ 4 $
B.$ 6 $
C.$ 8 $
D.$ 10 $

答案：

4. 已知 $ a\geqslant2 $，$ m^{2}-2am + 2 = 0 $，$ n^{2}-2an + 2 = 0 $，则 $ (m - 1)^{2}+(n - 1)^{2} $ 的最小值是（ ）

A.$ 6 $
B.$ 3 $
C.$ -3 $
D.$ 0 $

答案：

5. 已知二次函数 $ y = x^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴只有一个交点，且图象过 $ A(x_{1},m) $，$ B(x_{1}+n,m) $ 两点，则 $ m $，$ n $ 的关系为（ ）

A.$ m=\frac{1}{2}n $
B.$ m=\frac{1}{4}n $
C.$ m=\frac{1}{2}n^{2} $
D.$ m=\frac{1}{4}n^{2} $

答案：

6. 已知函数 $ y = ax^{2}-2ax - 1 $（$ a $ 是常数，$ a\neq0 $），下列结论正确的是（ ）

A.当 $ a = 1 $ 时，函数图象过点 $ (-1,1) $
B.当 $ a = -2 $ 时，函数图象与 $ x $ 轴没有交点
C.若 $ a＞0 $，则当 $ x\geqslant1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.若 $ a＜0 $，则当 $ x\leqslant1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案：

7. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 和正比例函数 $ y=\frac{2}{3}x $ 的图象如图所示，则方程 $ ax^{2}+(b-\frac{2}{3})x + c = 0(a\neq0) $ 的两根之和（ ）

A.大于 $ 0 $
B.等于 $ 0 $
C.小于 $ 0 $
D.不能确定

答案：

8. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
写出方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的两个根；
写出不等式 $ ax^{2}+bx + c＜0 $ 的解集；
若方程 $ ax^{2}+bx + c = k $ 有两个不相等的实数根，求 $ k $ 的取值范围。

答案：

9. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 经过 $ (-1,m^{2}+2m + 1) $，$ (0,m^{2}+2m + 2) $ 两点，其中 $ m $ 为常数。
求 $ b $ 的值，并用含 $ m $ 的代数式表示 $ c $；
当抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴有公共点时，求 $ m $ 的值；
设 $ (a,y_{1}) $，$ (a + 2,y_{2}) $ 是抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 上的两点，试比较 $ y_{2}-y_{1} $ 与 $ 0 $ 的大小。

答案：