《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 如图，$O$为$Rt\triangle ABC$直角边$AC$上一点，斜边$AB$与以$OC$为半径的$\odot O$相切于点$D$，交$OA$于点$E$，已知$BC=\sqrt{3}$，$AC = 3$，则图中阴影部分的面积是______。（结果保留$\pi$）

答案：

2. 如图，在$Rt\triangle AOB$中，$OA = OB = 4\sqrt{2}$，$\odot O$的半径为$2$，$P$是边$AB$上的动点，过点$P$作$\odot O$的一条切线$PQ$（点$Q$为切点），则线段$PQ$长的最小值为______。

答案：

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知$C(3,4)$，以点$C$为圆心的圆与$y$轴相切。点$A$，$B$在$x$轴上，且$OA = OB$。$P$为$\odot C$上的动点，$\angle APB = 90^{\circ}$，则线段$AB$长的最大值为______。

答案：

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 10$，$AC = 8$，$BC = 6$，以边$AB$的中点$O$为圆心，作半圆，$AC$与半圆相切，$P$，$Q$分别是边$BC$和半圆上的动点，连接$PQ$，则$PQ$长的最大值与最小值的和是（ ）

A.$6$
B.$2\sqrt{13}+1$
C.$9$
D.$\frac{32}{3}$

答案：

5. 如图，已知$AB$是$\odot O$的直径，$AD$切$\odot O$于点$A$，$C$是$\overset{\frown}{EB}$的中点，则下列结论不成立的是（ ）

A.$OC// AE$
B.$EC = BC$
C.$\angle DAE=\angle ABE$
D.$AC\perp OE$

答案：

6. 如图，已知线段$OA$交$\odot O$于点$B$，且$OB = AB$，$P$是$\odot O$上的一个动点，则$\angle OAP$度数的最大值是（ ）

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案：

7. 如图，$AB$为$\odot O$的切线，$B$为切点，$AO$与$\odot O$交于点$C$，若$\angle BAO = 40^{\circ}$，则$\angle OCB$的度数为（ ）

A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案：

8. 如图，$CD$是$\odot O$的直径，弦$AB\perp CD$于点$G$，直线$EF$与$\odot O$相切于点$D$，则下列结论中不一定正确的是（ ）

A.$AG = BG$
B.$AB// EF$
C.$AD// BC$
D.$\angle ABC=\angle ADC$

答案：

9. 如图，线段$AB$是$\odot O$的直径，$\angle CDB = 25^{\circ}$，过点$C$作$\odot O$的切线交$AB$的延长线于点$E$，则$\angle E$的度数为（ ）

A.$50^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案：

10. 在等腰直角三角形$ABC$中，$AB = AC = 4$，$O$为$BC$的中点，以点$O$为圆心作半圆交$BC$于点$M$，$N$，$AB$，$AC$与半圆相切，切点分别为$D$，$E$，则$\odot O$的半径和$\angle MND$的度数为（ ）

A.$2$，$22.5^{\circ}$
B.$3$，$30^{\circ}$
C.$3$，$22.5^{\circ}$
D.$2$，$30^{\circ}$

答案：

11. 如图，等腰直角三角形两腰$CA$，$CB$与半圆$O$分别切于$D$，$E$两点，直径$FG$在直线$AB$上，若$BG=\sqrt{2}-1$，则$\triangle ABC$的周长为（ ）

A.$4 + 2\sqrt{2}$
B.$6$
C.$2 + 2\sqrt{2}$
D.$4$

答案：

12. 如图，以等边三角形$ABC$的边$BC$为直径画半圆，分别交$AB$，$AC$于点$E$，$D$，$DF$是圆的切线，过点$F$作$BC$的垂线交$BC$于点$G$。若$AF$的长为$2$，则$FG$的长为（ ）

A.$4$
B.$3\sqrt{3}$
C.$6$
D.$2\sqrt{3}$

答案：

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$AC = 8$，$BC = 10$，$D$，$E$分别是$AC$，$AB$的中点，则以$DE$为直径的圆与$BC$的位置关系是（ ）

A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定

答案：

14. 如图，$AB$为$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$外一点，过点$C$作$\odot O$的切线，切点为$B$，连接$AC$交$\odot O$于点$D$，$\angle C = 38^{\circ}$。点$E$在$AB$右侧的半圆周上运动（不与点$A$，$B$重合），则$\angle AED$的度数是（ ）

A.$19^{\circ}$
B.$38^{\circ}$
C.$52^{\circ}$
D.$76^{\circ}$

答案：

15. 如图，$AB$是$\odot O$的弦，$AO$的延长线交过点$B$的$\odot O$的切线于点$C$，若$\angle ABO = 20^{\circ}$，则$\angle C$的度数是（ ）

A.$70^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$20^{\circ}$

答案：

16. 如图，一个边长为$4\ cm$的等边三角形$ABC$的高与$\odot O$的直径相等，$\odot O$与$BC$相切于点$C$，与$AC$相交于点$E$，则$CE$的长为（ ）

A.$4\ cm$
B.$3\ cm$
C.$2\ cm$
D.$1.5\ cm$

答案：

17. 如图，在$\odot O$中，半径$OD\perp$弦$AB$于点$C$，连接$AO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$EC$，若$AB = 8$，$CD = 2$，则$EC$的长度为（ ）

A.$2\sqrt{5}$
B.$8$
C.$2\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{13}$

答案：

18. 如图，已知在$\odot O$中，$\angle CBO = 50^{\circ}$，$\angle CAO = 20^{\circ}$，则$\angle AOB$的度数是（ ）

A.$75^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案：

19. 如图，$P$是等边三角形$ABC$外接圆$\odot O$上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）

A.当弦$PB$最长时，$\triangle APC$是等腰三角形
B.当$\triangle APC$是等腰三角形时，$PO\perp AC$
C.当$PO\perp AC$时，$\angle ACP = 30^{\circ}$
D.当$\angle ACP = 30^{\circ}$时，$\triangle BPC$是直角三角形

答案：

20. 如图，已知半圆$O$的直径$AB = 10$，弦$AC = 6$，$AD$平分$\angle BAC$，则$AD$的长为（ ）

A.$4\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{5}$
D.$4$

答案：

21. 已知$\odot O$的直径为$10$，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，$\angle CAB$的平分线交$\odot O$于点$D$。
（1）如图①，若$BC$为$\odot O$的直径，$AB = 6$，求$AC$，$BD$，$CD$的长；
（2）如图②，若$\angle CAB = 60^{\circ}$，求$BD$的长。

答案：

22. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，以$BC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$，切线$DE$交$AC$于点$E$。
（1）求证：$\angle A=\angle ADE$；
（2）若$AD = 8$，$DE = 5$，求$BC$的长。

答案：