《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 函数 $ y = (x - 2)^2 $ 的图象与函数 $ y = x^2 $ 的图象形状______，只是______变化，把函数 $ y = x^2 $ 的图象沿______轴向______平移______个单位长度可得到函数 $ y = (x - 2)^2 $ 的图象.

答案：

2. 二次函数 $ y = a(x - h)^2(a \neq 0) $ 的图象是一条抛物线，它的对称轴是______，顶点坐标为______.

答案：

3. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 与 $ y = ax^2(a \neq 0) $ 的图象形状______，______不同. 把 $ y = ax^2 $ 的图象向______（或向______）平移 $ |h| $ 个单位长度，即可得到 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象，当 $ h ＞ 0 $ 时，向______平移；当 $ h ＜ 0 $ 时，向______平移.

答案：

1. 小明在白纸上画了一个平面直角坐标系，然后将透明纸覆盖在白纸上，在透明纸上描出了抛物线 $ y = -2(x - 3)^2 $，欣赏时不小心将画有坐标系的白纸向右移动了 2 个单位长度，这时透明纸上的抛物线的解析式是__________________.

答案：

2. 抛物线 $ y = 2(x - 2)^2 $ 与抛物线 $ y = 2x^2 $ 的______相同，______不同.

答案：

3. 抛物线 $ y = 2(x - n)^2 $ 向右平移 3 个单位长度后得到抛物线 $ y = 2(x + 1)^2 $，则 $ n = $______.

答案：

4. 在同一平面直角坐标系中，与抛物线 $ y = 3(x - 4)^2 $ 关于 $ y $ 轴对称的抛物线的解析式为__________________.

答案：

5. 开口向上，对称轴为 $ x = -2 $，顶点在 $ x $ 轴上，并与 $ y $ 轴交于点 $ (0,3) $ 的抛物线的解析式为__________________.

答案：

6. 抛物线 $ y = -3(x - 2)^2 $ 与抛物线 $ y = -3x^2 $ 的关系是（ ）

A.抛物线 $ y = -3(x - 2)^2 $ 向左平移 2 个单位长度得抛物线 $ y = -3x^2 $
B.抛物线 $ y = -3(x - 2)^2 $ 向右平移 2 个单位长度得抛物线 $ y = -3x^2 $
C.抛物线 $ y = -3(x - 2)^2 $ 向上平移 2 个单位长度得抛物线 $ y = -3x^2 $
D.抛物线 $ y = -3(x - 2)^2 $ 向下平移 2 个单位长度得抛物线 $ y = -3x^2 $

答案：

7. 已知抛物线 $ y = a(x - 2)^2 $ 过点 $ (1,-2) $.
（1）求抛物线的解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（4）从图象上观察当 $ x $ 取何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？

答案：

8. 如图，$ y_1 = a(x - h)^2 $ 与 $ y_2 = kx + b $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，其中 $ A(0,-1) $，$ B(1,0) $.
（1）求此二次函数和一次函数的解析式；
（2）当 $ y_1 ＜ y_2 $，$ y_1 = y_2 $，$ y_1 ＞ y_2 $ 时，分别确定自变量 $ x $ 的取值范围.

答案：

1. 对于二次函数 $ y = 2(x + 1)^2 $，下列结论正确的是（ ）

A.当 $ x $ 取任何实数时，$ y $ 的值总是正的
B.其图象的顶点坐标为 $ (0,1) $
C.当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.其图象关于直线 $ x = 1 $ 对称

答案：

2. 二次函数 $ y = 3(x - 1)^2 $ 的图象上有三点 $ A(\sqrt{2},y_1) $，$ B(2,y_2) $，$ C(-\sqrt{5},y_3) $，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系是（ ）

A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
C.$ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $
D.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $

答案：

3. 将抛物线 $ y = x^2 - 1 $ 向下平移 8 个单位长度后与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离为（ ）

A.4
B.6
C.8
D.10

答案：

4. 已知抛物线 $ y = a(x + m)^2(a \neq 0) $ 的对称轴是直线 $ x = 2 $，且过点 $ (1,5) $.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）指出此抛物线的开口方向和顶点坐标；
（3）此函数有最大值还是最小值？其值是多少？
（4）若把此抛物线向左平移 3 个单位长度，则得到的新抛物线的解析式是什么？

答案：

5. 将抛物线 $ y = -2x^2 $ 的图象左右平移，使得它与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，若 $ \triangle ABO $ 的面积为 64，求平移后的抛物线的解析式.

答案：

6. 如图，直线 $ l $ 经过 $ A(4,0) $，$ B(0,4) $ 两点，抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的顶点为 $ P(1,0) $，直线 $ l $ 与抛物线的交点为 $ M $.
（1）求直线 $ l $ 的解析式；
（2）若 $ S_{\triangle AMP} = 3 $，求抛物线的解析式.

答案：

7. 如图，直线 $ y = -x - 2 $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $，交 $ y $ 轴于点 $ B $，抛物线 $ y = a(x - h)^2(a \neq 0) $ 的顶点为 $ A $，且经过点 $ B $.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 $ C(m,-\frac{9}{2}) $ 在该抛物线上，求 $ m $ 的值.

答案：