《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = ax^{2}+k(k \neq 0) $ 的图象是一条抛物线，它的对称轴是______，顶点坐标是______，是由抛物线 $ y = ax^{2} $ 向______（或向______）平移______个单位长度得到的。

答案：

2. 函数 $ y = - 3x^{2}+3 $，当 $ x $______时，函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。当 $ x $______时，函数取得最______值，最______值 $ y = $______。

答案：

1. 如果将抛物线 $ y = x^{2}+2 $ 向下平移 $ 1 $ 个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（ ）

A.$ y=(x - 1)^{2}+2 $
B.$ y=(x + 1)^{2}+2 $
C.$ y = x^{2}+1 $
D.$ y = x^{2}+3 $

答案：

2. 若正比例函数 $ y = mx(m \neq 0) $，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则它和二次函数 $ y = mx^{2}+m $ 的图象大致是（ ）

答案：

3. 已知点 $ (x_{1},y_{1}) $，$ (x_{2},y_{2}) $ 均在抛物线 $ y = 2x^{2}-3 $ 上，则下列说法中，正确的是（ ）

A.若 $ y_{1}=y_{2} $，则 $ x_{1}=x_{2} $
B.若 $ x_{1}=-x_{2} $，则 $ y_{1}=-y_{2} $
C.若 $ 0 \lt x_{1} \lt x_{2} $，则 $ y_{1} \gt y_{2} $
D.若 $ x_{1} \lt x_{2} \lt 0 $，则 $ y_{1} \gt y_{2} $

答案：

4. 下列函数中，当 $ x \gt 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大的是（ ）

A.$ y=-x + 1 $
B.$ y = x^{2}-1 $
C.$ y=-2x $
D.$ y=-x^{2}+1 $

答案：

5. 求下列各抛物线的解析式。
（1）已知一条抛物线的顶点在 $ y $ 轴上，且经过 $ (1,-2) $，$ (2,3) $ 两点；
（2）已知某抛物线与抛物线 $ y = 2x^{2}+3 $ 的形状、开口方向都一样，顶点为 $ (0,4) $；
（3）已知抛物线 $ = ax^{2}+c $ 与 $ x $ 轴交于两点 $ (2,0) $，$ (-2,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ (0,2) $。

答案：

6. 如图，已知抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2}+(5 - m)x + m - 3 $ 与 $ x $ 轴有两个交点 $ A $，$ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，点 $ A $ 在 $ x $ 轴正半轴上，点 $ B $ 在 $ x $ 轴负半轴上，且 $ OA = OB $。
（1）求 $ m $ 的值；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案：

1. 二次函数 $ y = 2x^{2}-4 $ 的图象开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______。当 $ x = 2\sqrt{2} $ 时，$ y = $______；当 $ y = 4 $ 时，$ x = $______。

答案：

2. 抛物线的形状、开口方向都与 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 相同，顶点在 $ (0,-2) $，则抛物线的解析式为______。

答案：

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^{2}+c(a \neq 0) $ 的图象过正方形 $ ABOC $ 的三个顶点 $ A $，$ B $，$ C $，则 $ ac $ 的值是______。

答案：

4. 在平面直角坐标系中，下列三个函数：① $ y = 2x^{2}+3 $；② $ y=-2x^{2}-1 $；③ $ y = -\frac{1}{2}x^{2}-1 $ 的图象不可能由函数 $ y = 2x^{2}+1 $ 的图象通过平移变换或轴对称变换得到的函数是______（填序号）。

答案：

5. 已知二次函数 $ y=-x^{2}+2(m - 1)x + 2m - m^{2} $ 的图象关于 $ y $ 轴对称，则由此图象的顶点 $ A $ 和图象与 $ x $ 轴的两个交点 $ B $，$ C $ 构成的 $ \triangle ABC $ 的面积是______。

答案：

6. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线向上平移 $ 4 $ 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为 $ y=-3x^{2}+1 $，则原抛物线的解析式为______。

答案：

7. 已知二次函数 $ y = 2x^{2}-(k - 1)x + k + 1 $，当 $ k $ 为何值时，此二次函数以 $ y $ 轴为对称轴？写出其函数解析式并画出图象。

答案：

8. 如图，二次函数 $ y=-mx^{2}+4m(m \neq 0) $ 的图象的顶点坐标为 $ (0,2) $，矩形 $ ABCD $ 的顶点 $ B $，$ C $ 在 $ x $ 轴上，$ A $，$ D $ 在抛物线上（点 $ A $ 在第一象限），矩形 $ ABCD $ 在抛物线与 $ x $ 轴所围成的图形内。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点 $ A $ 的坐标 $ (x,y) $，试求矩形 $ ABCD $ 的周长 $ P $ 关于自变量 $ x $ 的函数解析式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围。

答案：