《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
符号语言：∵ $PA$，$PB$ 是$\odot O$ 的切线，$A$，$B$ 为切点，
∴ $PA = PB$，$\angle OPA=\angle OPB$.
探究：
（1）写出图中所有的垂直关系：________.
（2）写出图中所有的全等三角形：________.
（3）写出图中所有的等腰三角形：________.

答案：

2. 三角形的内切圆及内心.
与三角形各边都相切的圆叫三角形的________，内切圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的________.

答案：

1. 如图，$PA$，$PB$ 分别与$\odot O$ 相切于$A$，$B$ 两点，$C$ 为$\odot O$ 上一点，连接 $AC$，$BC$，若$\angle P = 50^{\circ}$，则$\angle ACB$ 的度数为________.

答案：

2. 如图，等腰三角形 $ABC$ 的内切圆$\odot O$ 与 $AB$，$BC$，$CA$ 分别相切于点 $D$，$E$，$F$，且 $AB = AC = 5$，$BC = 6$，则 $DE$ 的长是________.

答案：

3. 如图，$PA$，$PB$ 是$\odot O$ 的切线，$A$，$B$ 为切点，$\angle OAB = 28^{\circ}$，则$\angle P=$________.

答案：

4. 如图，$P$ 为$\odot O$ 外一点，$PA$，$PB$ 为$\odot O$ 的切线，$A$ 和 $B$ 是切点，$BC$ 是直径. 求证：$AC// OP$.

答案：

5. 如图，过$\odot O$ 外一点 $P$ 作圆的切线 $PA$，$PB$，$F$ 是劣弧 $AB$ 上任一点，过点 $F$ 作$\odot O$ 的切线，分别交 $PA$，$PB$ 于点 $D$，$E$，已知 $PA = 12\mathrm{cm}$，$\angle P = 44^{\circ}$.
（1）求$\triangle PED$ 的周长；
（2）求$\angle DOE$ 的度数.

答案：

1. 如图，$\odot O$ 是$\triangle ABC$ 的内切圆，若$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle BOC$ 的度数为________.

答案：

2. 如图，$\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 的内切圆$\odot O$ 与两直角边 $AB$，$BC$ 分别相切于点 $D$，$E$，过劣弧$\overset{\LARGE{\frown}}{DE}$（不包括端点 $D$，$E$）上任一点 $P$ 作$\odot O$ 的切线 $MN$，与 $AB$，$BC$ 分别交于点 $M$，$N$. 若$\odot O$ 的半径为 $r$，则$\mathrm{Rt}\triangle MBN$ 的周长为（ ）

A.$r$
B.$\frac{3}{2}r$
C.$2r$
D.$\frac{5}{2}r$

答案：

3. 如图，点 $O$ 是$\triangle ABC$ 的内心，过点 $O$ 作 $EF// AB$，与 $AC$，$BC$ 分别交于点 $E$，$F$，则（ ）

A.$EF＞AE + BF$
B.$EF＜AE + BF$
C.$EF = AE + BF$
D.$EF\leq AE + BF$

答案：

4. 如图，过点$\odot O$ 外一点 $P$ 引$\odot O$ 的两条切线 $PA$，$PB$，切点分别是 $A$，$B$，$OP$ 交$\odot O$ 于点 $C$，$D$ 是优弧$\overset{\LARGE{\frown}}{ABC}$ 上不与点 $A$，$C$ 重合的一个动点，连接 $AD$，$CD$. 若$\angle APB = 80^{\circ}$，则$\angle ADC$ 的度数是（ ）

A.$15^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案：

5. 如图，以$\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上一点 $O$ 为圆心的圆，经过 $A$，$B$ 两点，且与边 $BC$ 交于点 $E$，$D$ 为$\overset{\LARGE{\frown}}{BE}$ 的下半圆弧的中点，连接 $AD$，交 $BC$ 于点 $F$，且 $AC = FC$.
（1）求证：$AC$ 是$\odot O$ 的切线；
（2）若 $BF = 8$，$DF = 2\sqrt{10}$，求$\odot O$ 的半径 $r$.

答案：

6. 如图，以$\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 的边 $AC$ 为直径作$\odot O$，交斜边 $AB$ 于点 $E$，连接 $EO$ 并延长交 $BC$ 的延长线于点 $D$，$F$ 为 $BC$ 的中点，连接 $EF$.
（1）求证：$EF$ 是$\odot O$ 的切线；
（2）若$\odot O$ 的半径为 $3$，$\angle EAC = 60^{\circ}$，求 $AD$ 的长.

答案：