《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $（$ a \neq 0 $）的两根为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2} = $______，$ x_{1}x_{2} = $______；若方程 $ x^{2}+px+q = 0 $ 的两根为 $ \alpha,\beta $，则 $ \alpha\beta = $______，$ \alpha+\beta = $______。

答案：

2. 若方程 $ x^{2}-2x - 1 = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2} = $______，$ x_{1}x_{2} = $______。

答案：

3. 已知方程 $ x^{2}-3kx + 2 = 0 $ 的一个根为 $ 2 $，则方程的另一个根为______。

答案：

1. 若一元二次方程 $ x^{2}-6x + 4 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2} = $______，$ x_{1}x_{2} = $______。

答案：

2. 若 $ x_{1} = -1 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+mx - 5 = 0 $ 的一个根，则此方程的另一个根 $ x_{2} = $______。

答案：

3. 若方程 $ 2x(x + 3) = 1 $ 的两根分别为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2} = $______，$ x_{1}x_{2} = $______，$ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2} = $______，$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = $______，$ \frac{4}{x_{1}}+\frac{4}{x_{2}} = $______。

答案：

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+px + 1 = 0 $ 的一个根为 $ 2+\sqrt{3} $，则另一根为______。

答案：

5. 当 $ m $ 取何值时，方程 $ x^{2}+mx + m - 1 = 0 $ 分别适合下列条件：
（1）两根之和等于 $ 2 $；（2）两根互为倒数；（3）两根互为相反数；（4）有一个根为 $ 0 $。

答案：

6. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2x + 2k - 1 = 0 $ 有实数根。
（1）求 $ k $ 的取值范围；
（2）设方程的两根分别是 $ x_{1},x_{2} $，且 $ \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} = x_{1}x_{2} $，试求 $ k $ 的值。

答案：

7. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}-3 = 0 $ 有实数根。
（1）求实数 $ m $ 的取值范围；
（2）当 $ m = 2 $ 时，方程的根为 $ x_{1},x_{2} $，求代数式 $ (x_{1}^{2}+2x_{1})(x_{2}^{2}+4x_{2}+2) $ 的值。

答案：

1. 若 $ m,n $ 分别为一元二次方程 $ x^{2}+2x - 2022 = 0 $ 的两个实数根，则 $ m^{2}+3m + n = $______。

答案：

2. 如果 $ m,n $ 是两个不相等的实数，且满足 $ m^{2}-m = 3 $，$ n^{2}-n = 3 $，那么代数式 $ 2n^{2}-mn + 2m + 2015 = $______。

答案：

3. 关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}+x - m + 1 = 0 $ 有以下三个结论：① 当 $ m = 0 $ 时，方程只有一个实数解；② 当 $ m \neq 0 $ 时，方程有两个不等的实数解；③ 无论 $ m $ 取何值时，方程都有一个负数解。其中正确的是______（填序号）。

答案：

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(k - 1)x - k + 2 = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1},x_{2} $，若 $ (x_{1}-x_{2}+2)(x_{1}-x_{2}-2)+2x_{1}x_{2} = -3 $，则 $ k $ 的值为（ ）

A.$ 0 $ 或 $ 2 $
B.$ -2 $ 或 $ 2 $
C.$ -2 $
D.$ 2 $

答案：

5. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $ 的两实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}+3x_{2} = 5 $，则 $ m $ 的值为（ ）

A.$ \frac{7}{4} $
B.$ \frac{7}{5} $
C.$ \frac{7}{6} $
D.$ 0 $

答案：

6. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x - m^{2} = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1},x_{2} $，则 $ m^{2}(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}) $ 的值为（ ）

A.$ \frac{m^{4}}{4} $
B.$ -\frac{m^{4}}{4} $
C.$ 4 $
D.$ -4 $

答案：

7. 若 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-2x - 1 = 0 $ 的两个根，则 $ x_{1}^{2}-x_{1}+x_{2} $ 的值为（ ）

A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案：

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (x - 3)(x - 2)-p^{2} = 0 $。
（1）求证：无论 $ p $ 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是 $ x_{1},x_{2} $，且满足 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 3x_{1}x_{2} $，求实数 $ p $ 的值。

答案：

9. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0 $ 有两个不等实根 $ x_{1},x_{2} $。
（1）求实数 $ k $ 的取值范围；
（2）若方程两实数 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ |x_{1}|+|x_{2}| = x_{1}x_{2} $，求 $ k $ 的值。

答案：