《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+3$与$y$轴交于点$A$，过点$A$与$x$轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$于点$B$，$C$，则$BC$的长为______.

答案：

2. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示，有下列$5$个结论：①$abc\lt0$；②$b\lt a + c$；③$4a + 2b + c\gt0$；④$2c\lt3b$；⑤$a + b\lt m(am + b)(m\neq1$的实数$)$，其中正确结论的序号有__________.

答案：

3. 已知抛物线$y = ax^{2}+4ax + 4a + 1(a\neq0)$过$A(m,3)$，$B(n,3)$两点，若线段$AB$的长不大于$4$，则代数式$a^{2}+a + 1$的最小值是______.

答案：

4. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴是直线$x = 1$，其部分图象如图所示，下列说法中：①$abc\lt0$；②$a - b + c\lt0$；③$3a + c = 0$；④ 当$-1\lt x\lt3$时，$y\gt0$，正确的是______（填序号）.

答案：

5. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$过点$(1,0)$和点$(0,-2)$，且顶点在第三象限，设$P = a - b + c$，则$P$的取值范围是（ ）

A.$-4\lt P\lt0$
B.$-4\lt P\lt-2$
C.$-2\lt P\lt0$
D.$-1\lt P\lt0$

答案：

6. 如图，边长分别为$1$和$2$的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至完全移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为$x$，两个三角形重叠面积为$y$，则$y$关于$x$的函数图象是（ ）

答案：

7. 如图，等腰直角三角形$EFG$的直角边$GE$与正方形$ABCD$的边$BC$在同一直线上，且点$E$与点$B$重合，$\triangle EFG$沿$BC$方向匀速运动，当点$G$与点$C$重合时停止运动.设运动时间为$t$，运动过程中$\triangle EFG$与正方形$ABCD$的重叠部分面积为$S$，则$S$关于$t$的函数图象大致为（ ）

答案：

8. 已知二次函数$y=-2x^{2}+4x + 1$，当自变量取$x_{1}$，$x_{2}$时，函数值相等.当自变量取$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$时，函数值为（ ）

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案：

9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + b$与二次函数$y = ax^{2}+8x + b(a\neq0)$的图象可能是（ ）

答案：

10. 以$x$为自变量的二次函数$y = x^{2}-2(b - 2)x + b^{2}-1$的图象不经过第三象限，则实数$b$的取值范围是（ ）

A.$b\geqslant\frac{5}{4}$
B.$b\geqslant1$或$b\leqslant-1$
C.$b\geqslant2$
D.$1\leqslant b\leqslant2$

答案：

11. 二次函数$y =-(x - 1)^{2}+5$，当$m\leqslant x\leqslant n$，且$mn\lt0$时，$y$的最小值为$2m$，最大值为$2n$，则$m + n$的值为（ ）

A.$\frac{5}{2}$
B.$2$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案：

12. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\gt0)$的图象经过点$A(-1,2)$，$B(2,5)$，顶点坐标为$(m,n)$，则下列说法错误的是（ ）

A.$c\lt3$
B.$m\leqslant\frac{1}{2}$
C.$n\leqslant2$
D.$b\lt1$

答案：

13. 如图，抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A(-1,0)$和$B(3,0)$两点，交$y$轴于点$E$.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线$y = x + 1$与抛物线交于$A$，$D$两点，与$y$轴交于点$F$，连接$DE$，求$\triangle DEF$的面积.

答案：

14. 如图，抛物线$y =-\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$OA = 2$，$OC = 3$.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若$D(2,2)$是抛物线上一点，则在抛物线的对称轴上，是否存在一点$P$，使得$\triangle BDP$的周长最小？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：