《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 一般地，式子______叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$根的判别式，通常用希腊字母“______”表示它，即______.当$\Delta＞0$时，方程有______实数根；当$\Delta = 0$时，方程有______实数根，此时方程的根为______；当$\Delta＜0$时，方程______实数根.反之也成立.

答案：

2. 当方程的二次项系数中含有字母参数$a$时，必须注意$a$的取值要使二次项系数______.

答案：

3. 不解方程判断下列方程中无实数根的是（ ）

A.$-x^{2}=2x - 1$
B.$4x^{2}+4x+\frac{5}{4}=0$
C.$\sqrt{2}x^{2}-x-\sqrt{3}=0$
D.$(x + 2)(x - 3)=-5$

答案：

1. 下列方程中有实数根的是（ ）

A.$x^{2}+2x + 3 = 0$
B.$x^{2}+1 = 0$
C.$x^{2}+3x + 1 = 0$
D.$\frac{x}{x - 1}=\frac{1}{x - 1}$

答案：

2. 已知关于$x$的一元二次方程$(m - 2)^{2}x^{2}+(2m + 1)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是（ ）

A.$m＞\frac{3}{4}$
B.$m\geqslant\frac{3}{4}$
C.$m＞\frac{3}{4}$，且$m\neq2$
D.$m\geqslant\frac{3}{4}$，且$m\neq2$

答案：

3. 若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（ ）

A.$k＞-1$
B.$k＞-1$，且$k\neq0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$，且$k\neq0$

答案：

4. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+\sqrt{m}x + n = 0$有两个相等的实数根，则$\frac{n}{m}$的值等于（ ）

A.$4$
B.$-4$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$

答案：

5. 对于任意实数$k$，关于$x$的方程$x^{2}-2(k + 1)x - k^{2}+2k - 1 = 0$根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案：

6. 若关于$x$的一元二次方程$(a - 6)x^{2}-8x + 6 = 0$有实数根，则整数$a$的最大值是（ ）

A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$

答案：

7. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x + m - 1 = 0$有两个相等的实数根，求$m$的值及方程的根.

答案：

1. 已知关于$x$的一元二次方程$(m - 2)x^{2}+(2m + 1)x + m - 2 = 0$有两个不相等的正实数根，则$m$的取值范围是（ ）

A.$m＞\frac{3}{4}$
B.$m＞\frac{3}{4}$，且$m\neq2$
C.$-\frac{1}{2}＜m＜2$
D.$\frac{3}{4}＜m＜2$

答案：

2. 已知关于$x$的一元二次方程$(m - 2)x^{2}+2x + 1 = 0$有实数根，则$m$的取值范围是（ ）

A.$m\leqslant3$
B.$m＜3$
C.$m＜3$，且$m\neq2$
D.$m\leqslant3$，且$m\neq2$

答案：

3. 已知$a$，$b$，$c$为常数，$(a - c)^{2}＞a^{2}+c^{2}$，则关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$根的情况是（ ）

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为$0$

答案：

4. 已知命题“关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx + 1 = 0$，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，$b$的值可以是（ ）

A.$b=-3$
B.$b=-2$
C.$b=-1$
D.$b = 2$

答案：

5. 若关于$x$的一元二次方程$(k - 2)x^{2}-2kx + k = 6$有实数根，则$k$的取值范围为（ ）

A.$k\geqslant0$
B.$k\geqslant0$，且$k\neq2$
C.$k\geqslant\frac{3}{2}$
D.$k\geqslant\frac{3}{2}$，且$k\neq2$

答案：

6. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + m^{2}+m = 0$的两个实数根的平方和为$12$，则$m$的值为（ ）

A.$m=-2$
B.$m = 3$
C.$m = 3$或$m=-2$
D.$m = 3$或$m = 2$

答案：

7. 已知关于$x$的方程$x^{2}-(2m + 1)x + m(m + 1)=0$.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为$x = 0$，求代数式$(2m - 1)^{2}+(3 + m)(3 - m)+7m - 5$的值（要求先化简，再求值）.

答案：

8. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-(m + 2)x + 2 = 0$.
（1）求证：不论$m$为何值，方程总有实数根；
（2）$m$为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？

答案：