《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

解决拱桥问题分两类：(1) 已有平面直角坐标系，那么此时一般又分① 抛物线的顶点在原点，可得解析式________；② 顶点在 $ y $ 轴上，可得解析式________；③ 顶点在 $ x $ 轴上，可得解析式________；④ 原点在抛物线上，可得解析式________；(2) 没有平面直角坐标系，此时建立适合的平面直角坐标系是关键。

答案：

1. A，B，C，D 四幅图象分别表示变量之间的关系。
(1) 小车从光滑斜面上滑下(小车速度和时间的关系)对应的图象是______；
(2) 运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)对应的图象是______；
(3) 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系)对应的图象是______；
(4) 小明匀速从 $ A $ 到 $ B $ 后，停留一段时间，然后按原速度原路返回(路程与时间的关系)对应的图象是______。

答案：

2. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点是 $ (-2,0) $，顶点是 $ (1,3) $。下列说法中不正确的是（ ）

A.抛物线的对称轴是直线 $ x = 1 $
B.抛物线的开口向下
C.抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点是 $ (2,0) $
D.当 $ x = 1 $ 时，$ y $ 有最大值 3

答案：

3. 某幢建筑物，从 $ 10 \, m $ 高的窗口 $ A $ 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图)，如果抛物线的最高点 $ M $ 离墙 $ 1 \, m $，离地面 $ \frac{40}{3} \, m $，那么水流落地点 $ B $ 离墙（ ）

A.$ 2 \, m $
B.$ 3 \, m $
C.$ 4 \, m $
D.$ 5 \, m $

答案：

4. 某公司草坪的护栏是由 $ 50 $ 段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距 $ 0.4 \, m $ 加设不锈钢管做成的立柱(如图)，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据，则所需不锈钢管的总长度为（ ）

A.$ 40 \, m $
B.$ 60 \, m $
C.$ 80 \, m $
D.$ 100 \, m $

答案：

5. 如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案。在平面直角坐标系中，最左边的抛物线可以用 $ y = ax^2 + bx(a \neq 0) $ 表示。已知抛物线上 $ B $，$ C $ 两点到地面的距离均为 $ \frac{3}{4} \, m $，到墙边 $ OA $ 的距离分别为 $ \frac{1}{2} \, m $，$ \frac{3}{2} \, m $。
(1) 求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
(2) 若该墙的长度为 $ 10 \, m $，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案？

答案：

6. 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 $ 6 $ 米，底部宽度 $ OM $ 为 $ 12 $ 米，现以点 $ O $ 为原点，$ OM $ 所在直线为 $ x $ 轴建立平面直角坐标系。
(1) 直接写出点 $ M $ 及抛物线顶点 $ P $ 的坐标；
(2) 求这条抛物线的解析式；
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”$ AD - DC - CB $，使 $ C $，$ D $ 点在抛物线上，$ A $，$ B $ 点在地面 $ OM $ 上，则这个“支撑架”的总长的最大值是多少米？

答案：

7. 一条隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 $ 8 \, m $，宽为 $ 2 \, m $，隧道的最高点 $ P $ 位于 $ AB $ 的中央且距地面 $ 6 \, m $，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 一辆货车高 $ 4 \, m $，宽 $ 2 \, m $，能否从该隧道内通过？为什么？
(3) 如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？为什么？

答案：

1. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图)，大门的地面宽度为 $ 8 \, m $，两侧距地面 $ 4 \, m $ 高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 $ 6 \, m $，则校门的高为(精确到 $ 0.1 \, m $，水泥建筑物厚度忽略不计)（ ）

A.$ 9.2 \, m $
B.$ 9.1 \, m $
C.$ 9 \, m $
D.$ 5.1 \, m $

答案：

2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $ h $(单位：$ m $)与小球运动时间 $ t $(单位：$ s $)之间的函数关系如图所示。下列结论：
① 小球在空中经过的路程是 $ 40 \, m $；
② 小球抛出 $ 3 \, s $ 后，速度越来越快；
③ 小球抛出 $ 3 \, s $ 时速度为 $ 0 $；
④ 小球的高度 $ h = 30 \, m $ 时，$ t = 1.5 \, s $。
其中正确的是（ ）

A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③

答案：

3. 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 $ ACB $ 和矩形的三边 $ AE $，$ ED $，$ DB $ 组成，已知河底 $ ED $ 是水平的，$ ED = 16 \, m $，$ AE = 8 \, m $，抛物线的顶点 $ C $ 到 $ ED $ 的距离是 $ 11 \, m $，以 $ ED $ 所在的直线为 $ x $ 轴，抛物线的对称轴为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 已知从某时刻开始的 $ 40 \, h $ 内，水面与河底 $ ED $ 的距离 $ h $(单位：$ m $)随时间 $ t $(单位：$ h $)的变化满足函数关系 $ h = -\frac{1}{128}(t - 19)^2 + 8 $ ($ 0 \leq t \leq 40 $)，且当水面到顶点 $ C $ 的距离不大于 $ 5 \, m $ 时，需禁止船只通行，在这一时段内，需要多长时间禁止船只通行？

答案：