《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 函数 $ y = 2(x + 1)^2 - 2 $ 的图象是一条抛物线，它的开口向______，对称轴为______，顶点坐标为______。它是由抛物线 $ y = 2x^2 $ 先向______平移______单位长度后，再向______平移______单位长度得到。当 $ x $______时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x $______时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案：

2. 二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k (a \neq 0) $ 的图象是一条抛物线，它的对称轴是______，顶点坐标是______，是由抛物线 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度得到的。

答案：

3. （1）当 $ a ＞ 0 $ 时，抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的开口向______。在对称轴的左侧，即 $ x ＜ h $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而______；在对称轴的右侧，即 $ x ＞ h $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而______。当 $ x = h $ 时，$ y $ 有最______值，为______；（2）当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的开口向______。在对称轴的左侧，即 $ x ＜ h $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而______；在对称轴的右侧，即 $ x ＞ h $ 时，函数 $ y $ 随 $ x $ 的增大而______。当 $ x = h $ 时，$ y $ 有最______值，为______。

答案：

1. 抛物线 $ y = (x - 2)^2 + 1 $ 的顶点坐标是（ ）

A.$ (2,1) $
B.$ (2,-1) $
C.$ (-2,-1) $
D.$ (-2,1) $

答案：

2. 设 $ A(-2,y_1) $，$ B(1,y_2) $，$ C(2,y_3) $ 是抛物线 $ y = -(x + 1)^2 + a $ 上的三点，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系为（ ）

A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
C.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
D.$ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $

答案：

3. 将抛物线 $ y = (x - 1)^2 + 3 $ 向左平移 $ 1 $ 个单位长度，再向下平移 $ 3 $ 个单位长度后所得抛物线的解析式为（ ）

A.$ y = (x - 2)^2 $
B.$ y = (x - 2)^2 + 6 $
C.$ y = x^2 + 6 $
D.$ y = x^2 $

答案：

4. 对于抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3 $，有下列结论：① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线 $ x = 1 $；③ 顶点坐标为 $ (-1,3) $；④ $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。其中，正确结论的个数为（ ）

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案：

5. 写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）$ y = 3(x + 4)^2 - 5 $；
（2）$ y = -(x - 3)^2 + 2 $；
（3）$ y = 2(x + 2)^2 + 3 $。

答案：

6. 已知抛物线 $ y_1 = a(x - h)^2 + k $ 与 $ y_2 = (x + 1)^2 - 2 $ 的开口方向和形状都相同，且抛物线 $ y_1 $ 的最低点的坐标是 $ (-2,-1) $。
（1）求 $ y_1 $ 的解析式，并说明抛物线 $ y_1 $ 是怎样由 $ y_2 $ 平移得到的；
（2）求抛物线 $ y_1 $ 与 $ x $ 轴的两交点的坐标。

答案：

1. 将抛物线 $ y = 3(x - 4)^2 + 2 $ 向右平移 $ 1 $ 个单位长度，再向下平移 $ 3 $ 个单位长度，平移后的抛物线的解析式是______。

答案：

2. 如图，二次函数的图象经过 $ (-2,-1) $，$ (1,1) $ 两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（ ）

A.$ y $ 的最大值小于 $ 0 $
B.当 $ x = 0 $ 时，$ y $ 的值大于 $ 1 $
C.当 $ x = -1 $ 时，$ y $ 的值大于 $ 1 $
D.当 $ x = -3 $ 时，$ y $ 的值小于 $ 0 $

答案：

3. 已知抛物线 $ y = a(x - 3)^2 + 2 $ 经过点 $ (1,-2) $。
（1）求 $ a $ 的值；
（2）若点 $ A(m,y_1) $，$ B(n,y_2)(m ＜ n ＜ 3) $ 都在该抛物线上，试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小。

答案：

4. 如图，抛物线 $ y = a(x - 1)^2 + 4 (a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，过点 $ C $ 作 $ CD // x $ 轴，交抛物线的对称轴于点 $ D $，连接 $ BD $。已知点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形 $ COBD $ 的面积。

答案：

5. 在某校九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时距地面 $ \frac{20}{9} $ m，与篮圈中心的水平距离为 $ 7 $ m，当球出手后距投篮地点的水平距离为 $ 4 $ m 时到达最大高度 $ 4 $ m，篮圈距地面 $ 3 $ m，设篮球的运动轨迹为抛物线。
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲面前 $ 1 $ m 处跳起拦截，如果乙的最大摸高为 $ 3.1 $ m，那么队员乙能否拦截成功？

答案：

6. 如图，二次函数 $ y = (x - 2)^2 + m $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ B $ 是点 $ C $ 关于该二次函数图象的对称轴对称的点。已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过该二次函数图象上的点 $ A(1,0) $ 及点 $ B $。
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足 $ kx + b \geq (x - 2)^2 + m $ 的 $ x $ 的取值范围。

答案：