《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有______等于零；反之，如果两个因式中有______等于零，那么它们的积是______.

答案：

2. 方程$x^{2}-16 = 0$，可将方程左边因式分解得方程______，则有两个一元一次方程______或______，分别解得$x_{1}=$______，$x_{2}=$______.

答案：

3. 填写解方程$3x(x + 5)=5(x + 5)$的过程.
解：移项，得$3x(x + 5)$______$=0$，
合并同类项，得$(x + 5)$（______）$=0$，
于是得$x + 5=$______或______$=0$，
解得$x_{1}=$______，$x_{2}=$______.

答案：

4. 用因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）通过移项，将方程右边化为零；
（2）将方程左边分解成两个______次因式之积；
（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程；
（4）分别解这两个______，求得方程的解.

答案：

1. 一元二次方程$(x + 1)(x - 2)=0$的根是______.

答案：

2. 一元二次方程$x^{2}+3x = 0$的根是______.

答案：

3. 用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）

A.由$(2x - 2)(3x - 4)=0$，得$2x - 2 = 0$或$3x - 4 = 0$
B.由$(x + 3)(x - 1)=1$，得$x + 3 = 0$或$x - 1 = 1$
C.由$(x - 2)(x - 3)=2×3$，得$x - 2 = 2$或$x - 3 = 3$
D.由$x(x + 2)=0$，得$x + 2 = 0$

答案：

4. 方程$(x + 3)(x - 2)=0$的根是（ ）

A.$x=-3$
B.$x = 2$
C.$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$
D.$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$

答案：

5. 方程$2x(5x - 4)=0$的根是（ ）

A.$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{4}{5}$
B.$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{5}{4}$
C.$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{4}{5}$
D.$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=\frac{4}{5}$

答案：

6. 方程$x(x + 1)=3(x + 1)$根的情况是（ ）

A.$x=-1$
B.$x = 3$
C.$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$
D.以上答案都不对

答案：

7. 方程$x^{2}-x = 0$的根为（ ）

A.$x = 0$
B.$x = 1$
C.$x_{1}=0$，$x_{2}=1$
D.$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$

答案：

8. 用因式分解法解下列方程：
（1）$(3x - 1)^{2}-3x + 1 = 0$；
（2）$2(x + 1)^{2}=3(x + 1)$；
（3）$(x + 3)^{2}-4(x + 3)+4 = 0$；
（4）$x^{2}-3x + 2 = 0$.

答案：

1. 一元二次方程$x^{2}-2x = 0$的根是（ ）

A.$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$
B.$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
C.$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$
D.$x_{1}=0$，$x_{2}=2$

答案：

2. 我们解一元二次方程$3x^{2}-6x = 0$时，可以运用因式分解法，将此方程化为$3x(x - 2)=0$，从而得到两个一元一次方程：$3x = 0$或$x - 2 = 0$，进而得到原方程的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=2$.这种解法体现的数学思想是（ ）

A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想

答案：

3. 已知$2$是关于$x$的方程$x^{2}-2mx + 3m = 0$的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形$ABC$的两条边长，则等腰三角形$ABC$的周长为（ ）

A.$10$
B.$14$
C.$10$或$14$
D.$8$或$10$

答案：

4. 解方程：①$(x - 2)^{2}=5$；②$x^{2}-3x - 2 = 0$；③$(x + 1)^{2}+3(x + 1)=0$，较适当的方法分别为（ ）

A.①直接开平方法；②因式分解法；③配方法
B.①因式分解法；②公式法；③直接开平方法
C.①公式法；②直接开平方法；③因式分解法
D.①直接开平方法；②公式法；③因式分解法

答案：

5. 解下列方程：
（1）$4(x + 1)^{2}+3(x + 1)=0$；
（2）$x^{2}+8x + 7 = 0$；
（3）$x^{2}+12x - 13 = 0$；
（4）$x^{2}+2x - 24 = 0$.

答案：

6. 已知关于$x$的方程$x^{2}+kx - 3 = 0$的一个解与方程$\frac{x + 1}{x - 1}=2$的解相同.
（1）求$k$的值；
（2）求方程$x^{2}+kx - 3 = 0$的另一个解.

答案：

7. 已知下列$n$（$n$为正整数）个关于$x$的一元二次方程：
①$x^{2}-1 = 0$；②$x^{2}+x - 2 = 0$；③$x^{2}+2x - 3 = 0$；…；$\boldsymbol{n}$ $x^{2}+(n - 1)x - n = 0$.
（1）请解上述一元二次方程①②③$\boldsymbol{n}$；
（2）请你指出这$n$个方程的根具有什么共同特点（写出一条即可）.

答案：