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1.(2025·无锡经开区期末)下列方程是一元二次方程的是(
A.$x-2y= 5$
B.$2x+\frac{1}{x}= 3$
C.$x^2-4x-2= 0$
D.$x^3+3x-1= 0$
C
).A.$x-2y= 5$
B.$2x+\frac{1}{x}= 3$
C.$x^2-4x-2= 0$
D.$x^3+3x-1= 0$
答案：
C [解析]A.方程有2个未知数,不是一元二次方程,不符合题意;B.不是整式方程,不是一元二次方程,不符合题意;C.是一元二次方程,符合题意;D.未知数最高次为3,不是一元二次方程,不符合题意.故选C.
2.(2024·常州第二十四中学期中)已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+x+a^2-1= 0$的常数项是0,则a的值为(
A.1
B.-1
C.1或-1
D.$\frac{1}{2}$
B
).A.1
B.-1
C.1或-1
D.$\frac{1}{2}$
答案：
B [解析]由题意,得{a²-1=0,a-1≠0,解得a=-1.故选B.
3.(2025·淮安清江浦区期末)关于x的方程$(m-2)x^2+3x+n= 0$是一元二次方程,则m的取值范围是(
A.$m≠2$
B.$m＞2$
C.$m＜2$
D.$0＜m＜2$
A
).A.$m≠2$
B.$m＞2$
C.$m＜2$
D.$0＜m＜2$
答案：
A [解析]
∵方程(m-2)x²+3x+n=0是一元二次方程,
∴m-2≠0,解得m≠2.故选A.
∵方程(m-2)x²+3x+n=0是一元二次方程,
∴m-2≠0,解得m≠2.故选A.
4.若关于x的一元二次方程$2x^2+(k+8)x-(2k-3)= 0$的各项系数之和为5,则k的值为
8
.
答案：
8 [解析]方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为2、k+8、-(2k-3),根据二次项系数、一次项系数及常数项的和为5,得2+k+8-(2k-3)=5,解得k=8.
5.已知方程$ax^2+bx-6= 0与方程ax^2+2bx-15= 0$有一个公共解是3,求a、b的值.
答案：
∵方程ax²+bx-6=0与ax²+2bx-15=0有一个公共解是3,
∴9a+6b-15=9a+3b-6=0,
∴3b-9=0,解得b=3.将b=3代入9a+3b-6=0,解得a=-1/3,即a的值是-1/3,b的值是3.
∵方程ax²+bx-6=0与ax²+2bx-15=0有一个公共解是3,
∴9a+6b-15=9a+3b-6=0,
∴3b-9=0,解得b=3.将b=3代入9a+3b-6=0,解得a=-1/3,即a的值是-1/3,b的值是3.
6.教材P7尝试与交流·拓展 已知关于x的方程$(m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-1= 0$.
(1)当m取何值时,此方程是一元二次方程?
(2)当m取何值时,此方程是一元一次方程?
(1)当m取何值时,此方程是一元二次方程?
(2)当m取何值时,此方程是一元一次方程?
答案：
(1)当m²+1=2且m+1≠0,即m=1时,此方程是一元二次方程.
(2)当m²+1=1且m+1+m-3≠0,或m+1=0且m-3≠0时,即m=0或-1时,此方程是一元一次方程.
(1)当m²+1=2且m+1≠0,即m=1时,此方程是一元二次方程.
(2)当m²+1=1且m+1+m-3≠0,或m+1=0且m-3≠0时,即m=0或-1时,此方程是一元一次方程.
7.整体思想 (2025·重庆南川区期末)已知m为一元二次方程$x^2+5x-1024= 0$的根,那么$-2m^2-10m$的值为(
A.-2048
B.-1024
C.0
D.2048
A
).A.-2048
B.-1024
C.0
D.2048
答案：
A [解析]由题意可知m²+5m-1024=0,则m²+5m=1024,
∴-2m²-10m=-2(m²+5m)=-2×1024=-2048.故选A.
∴-2m²-10m=-2(m²+5m)=-2×1024=-2048.故选A.
8.已知$2+\sqrt{3}$是关于x的一元二次方程$x^2-4x+m= 0$的一个实数根,则实数m的值是(
A.0
B.1
C.-3
D.-1
B
).A.0
B.1
C.-3
D.-1
答案：
B [解析]根据题意,得(2+√3)²-4×(2+√3)+m=0,解得m=1.故选B.
9.已知$x^2-3x-4= 0$,则代数式$\frac{x}{x^2-x-4}$的值是(
A.3
B.2
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
D
).A.3
B.2
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案：
D [解析]将x²-3x-4=0两边同时加上2x,得x²-x-4=2x,所以x/x²-x-4=x/2x=1/2.故选D.
10.实验班原创 若实数x满足$x^2-2\sqrt{2}x-1= 0$,则$(x+\frac{1}{x})^2= $
12
.
答案：
1. 首先，因为$x^{2}-2\sqrt{2}x - 1 = 0$，$x\neq0$（若$x = 0$，方程$x^{2}-2\sqrt{2}x - 1 = 0$不成立）：
方程两边同时除以$x$，得到$x-2\sqrt{2}-\frac{1}{x}=0$。
2. 然后，对$x - \frac{1}{x}=2\sqrt{2}$进行变形：
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，对于$(x+\frac{1}{x})^{2}$，我们先求$(x - \frac{1}{x})^{2}$，由$(x - \frac{1}{x})^{2}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}$，已知$x - \frac{1}{x}=2\sqrt{2}$，则$(x - \frac{1}{x})^{2}=(2\sqrt{2})^{2}=8$，即$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2 = 8$，所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=10$。
又因为$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$。
把$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 10$代入$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$中。
所以$(x+\frac{1}{x})^{2}=10 + 2=12$。
故答案为：$12$。
方程两边同时除以$x$，得到$x-2\sqrt{2}-\frac{1}{x}=0$。
2. 然后，对$x - \frac{1}{x}=2\sqrt{2}$进行变形：
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，对于$(x+\frac{1}{x})^{2}$，我们先求$(x - \frac{1}{x})^{2}$，由$(x - \frac{1}{x})^{2}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}$，已知$x - \frac{1}{x}=2\sqrt{2}$，则$(x - \frac{1}{x})^{2}=(2\sqrt{2})^{2}=8$，即$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2 = 8$，所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=10$。
又因为$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$。
把$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 10$代入$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$中。
所以$(x+\frac{1}{x})^{2}=10 + 2=12$。
故答案为：$12$。
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