《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

19.(12分)探索发现：$\frac{1}{1 × 2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2 × 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3 × 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……
根据你发现的规律，解答下列问题：
(1)$\frac{1}{4 × 5}=$$\frac{1}{4}$−$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n(n+1)}=$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$($n$为正整数)
(2)利用你发现的规律计算：$\frac{1}{1 × 2}+\frac{1}{2 × 3}+\frac{1}{3 × 4}+ ·s +\frac{1}{n(n+1)}$($n$为正整数，$n＞4$)
(3)探索规律并解方程：$\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+ ·s +\frac{1}{(x+98)(x+100)}=\frac{1}{x+100}$

答案：
19.
(1)$\frac{1}{4}$−$\frac{1}{5}$
(2)解:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+·s+\frac{1}{n(n+1)}$
　　=$1−\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+·s+\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}$
　　=$1−\frac{1}{n+1}$
　　=$\frac{n}{n+1}$.
(3)解:
∵$\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+·s+\frac{1}{(x+98)(x+100)}=\frac{1}{x+100}$
∴$\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})+·s+\frac{1}{2}(\frac{1}{x+98}-\frac{1}{x+100})=\frac{1}{x+100}$
∴$\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+100})=\frac{1}{x+100}$
∴$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+100}$，解得$x=50$.
　检验:当$x=50$时,$x,x+2,x+4,·s,x+100\neq0$.
∴原分式方程的解是$x=50$.

20.(13分) ◆2025·玉林期末◆ 某中学为了践行劳动课程标准和让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据调查：每捆A种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地处购买的1.5倍，用900元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地处购买数量的一半要多5捆.
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于2140元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗共80捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供八折优惠.求至少可购买多少捆A种菜苗.

答案：
20.解:
(1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是$x$元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是$1.5x$元.由题意得，$\frac{1}{2}×\frac{900}{x}+5=\frac{900}{1.5x}$.解得$x=30$.
经检验，$x=30$是原方程的解，且符合题意.
答:菜苗基地每捆A种菜苗的价格是30元.
(2)设在菜苗基地购买$m$捆A种菜苗，则在菜苗基地购买$(80 - m)$捆B种菜苗.
由题意得$30×0.8m+35×0.8(80 - m)\leq2140$.解得$m\geq25$.
答:至少可购买25捆A种菜苗.