《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

20. (13分)【发现问题】
数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$AC = 3$，求$BC$边上的中线$AD$的取值范围.

【探究方法】
第一小组的同学经过合作交流，得到的解决方法如下：
①延长$AD$至点$E$，使$ED = AD$；
②连接$BE$，通过证明三角形全等把$AB$，$AC$，$2AD$转化到$\triangle ABE$中；
③利用三角形的三边关系可得$AE$的取值范围是$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，从而得到$AD$的取值范围.
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(1)利用上述方法，请你直接写出$AD$的取值范围是1＜AD＜4.
(2)如图2，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$AE$是$\triangle ADC$的中线，$CA = CD$，$\angle CAD = \angle CDA$.下列结论：①$AB = 2AE$；②$\angle CAE = \angle DAE$；③$AE = AD$；④$\angle DAE = \angle DAB$.其中正确的是①④.(填序号)
【问题拓展】
(3)如图3，$OA = OB$，$OC = OD$，$\angle AOB$与$\angle COD$互补，连接$AC$，$BD$，点$E$是$AC$的中点，连接$OE$.求证：$OE = \frac{1}{2}BD$.
【知识迁移】
(4)如图4，在(3)的条件下，若$\angle AOB = 90°$，延长$EO$交$BD$于点$F$，$OF = 3$，$OE = 6$，求$\triangle AOC$的面积.

答案：

(1)1＜AD＜4
【解析】易证△BDE≌△CDA(SAS).
∴BE=CA=3，ED=AD.
∴AE=2AD.
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴5-3＜2AD＜5+3，即1＜AD＜4.
(2)①④【解析】如图1，延长AE至点F，使FE=AE，连接DF.
易证△DEF≌△CEA(SAS).
∴∠EDF=∠C,DF=CA=CD=BD,∠DFE=∠CAE.
∴∠ADF=∠CDA+∠EDF=∠CAD+∠C.
∵∠ADB=∠CAD+∠C，
∴∠ADF=∠ADB.
易证△ADF≌△ADB(SAS).
∴AF=AB=2AE，∠DAE=∠DAB.
故①④正确，②③根据现有条件不能推出，故错误.
(3)证明：如图2，延长OE至点P，使EP=EO，连接AP.
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE.
$\begin{cases}AE=CE,\\\angle AEP=\angle CEO,\\EP=EO,\end{cases}$
∴△AEP≌△CEO(SAS).
∴AP=CO=OD，∠EAP=∠C.
∴AP//CO.
∴∠AOC+∠OAP=180°.
∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠AOC+∠BOD=180°.
∴∠BOD=∠OAP.
$\begin{cases}OD=AP,\\\angle BOD=\angle OAP,\\OB=AO,\end{cases}$
∴△BOD≌△OAP(SAS).
∴BD=OP.
∵OE=$\frac{1}{2}$OP，
∴OE=$\frac{1}{2}$BD.
(4)解：如图3，延长OE至点P，使PE=OE，连接AP.
由
(3)得，△AEP≌△CEO，△BOD≌△OAP.
∴$S_{△AEP}=S_{△CEO}，S_{△BOD}=S_{△OAP}，\angle P=\angle COE=\angle D$.
∴$S_{△AOC}=S_{△AOE}+S_{△CEO}=S_{△AOE}+S_{△AEP}=S_{△OAP}=S_{△BOD}$.
∵∠AOB=90°，
∴∠COD=180°-∠AOB=90°.
∴∠COE+∠DOF=90°.
∴∠DOF+∠D=90°.
∴∠OFD=90°.
∵OE=6，
∴BD=2OE=12.
∵OF=3，
∴$S_{△AOC}=S_{△BOD}=\frac{1}{2}BD· OF=\frac{1}{2}×12×3=18$.
∴△AOC的面积是18.