《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

23. (13分)【探究发现】
(1)如图1，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，点D为BC的中点，点E，F分别是边AC，AB上的点. 若∠EDF = 90°，则AE，AF，AB之间的数量关系是 $AE + AF = AB$.
【类比应用】
(2)如图2，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，点D是BC的中点，点E，F分别是边AC，AB上的点. 若∠EDF = 60°，试探究AE，AF，AB之间的数量关系，并说明理由.
【拓展延伸】
(3)在△ABC中，AB = AC = 5，∠BAC = 120°，点D是BC的中点，点E，F分别是直线AC，AB上的点. 若CE = 1，∠EDF = 60°，连接EF，请直接写出AF的长.

答案：
23.
(1)$AE + AF = AB$
(2)$AE + AF = \frac{1}{2}AB$.
理由：如图1，取AB的中点G，连接DG.
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，点D是AC的中点，
$\therefore \angle B = \angle C = 30^{\circ}$，$\angle BAD = \angle CAD = 60^{\circ}$.
在$Rt \triangle ABD$中，$\because \angle B = 30^{\circ}$，$\therefore AB = 2AD$.
$\because$点G是AB的中点，$\therefore AG = BG = AD$.
$\because \angle DAG = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle AGD$是等边三角形.
$\therefore DG = DA$，$\angle DGA = \angle ADG = 60^{\circ}$.
$\therefore \angle DAE = \angle DGF$.
$\because \angle EDF = 60^{\circ}$，$\therefore \angle EDA + \angle FDA = 60^{\circ}$.
$\because \angle FDG + \angle FDA = 60^{\circ}$，$\therefore \angle EDA = \angle FDG$.
在$\triangle DAE$和$\triangle DGF$中，$\begin{cases} \angle EDA = \angle FDG, \\ DA = DG, \\ \angle DAE = \angle DGF, \end{cases}$
$\therefore \triangle DAE \cong \triangle DGF (ASA)$.$\therefore AE = GF$.
$\therefore AE + AF = GF + AF = AG = \frac{1}{2}AB$.

(3)AF的长是1.5或3.5.
[解析]Ⅰ.如图2，当点E在线段AC上时，点F在BA的延长线上，取AC的中点H，连接DH.
易证$\triangle ADH$是等边三角形.
$\therefore \angle DHE = \angle DAF = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
易证$\triangle DAF \cong \triangle DHE (ASA)$.
$\therefore AF = HE = HC - CE = \frac{1}{2}AC - CE = 1.5$.

Ⅱ.如图3，当点E在AC的延长线上时，点F在BA的延长线上，取AC的中点H，连接DH.
同理可证$\triangle ADF \cong \triangle HDE (ASA)$.
$\therefore AF = HE = HC + CE = \frac{1}{2}AC + CE = 3.5$.

综上所述，AF的长是1.5或3.5.