《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

17. (10分)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$\angle CAB$的平分线$AD$交$BC$于点$D$，$DE\perp AB$于点$E$，点$F$在$AC$上，且$EB = CF$，连接$DF$.求证：$DB = DF$.

答案： 证明：
∵∠C=90°，
∴DC⊥CA.
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠DEB=90°.
$\begin{cases}DE=DC,\\\angle DEB=\angle C,\\EB=CF,\end{cases}$
∴△DEB≌△DCF(SAS).
∴DB=DF.

18. (10分)如图，点$E$在$\triangle ABC$的边$AC$上，$AE = BC$，$BC// AD$，$\angle CED = \angle BAD$.求证：$\triangle ABC\cong\triangle DEA$.

答案： 证明：
∵BC//AD，
∴∠DAE=∠ACB.
∵∠CED=∠BAD，∠CED=∠DAE+∠EDA，∠BAD=∠DAE+∠BAC，
∴∠EDA=∠BAC.
$\begin{cases}\angle ACB=\angle DAE,\\\angle BAC=\angle EDA,\\BC=EA,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEA(AAS).

19. (12分)如图，$AB$，$DE$交于点$F$，$AD// BE$，点$C$是$AB$上一点，且$AC = BE$，$AD = BC$，连接$CD$，$EC$.
(1)求证：$DC = CE$.
(2)若$\angle A = 40°$，$\angle ADC = 20°$，$\angle CED = 50°$，求$\angle CDE$的度数.

答案：
(1)证明：
∵AD//BE，
∴∠A=∠B.
$\begin{cases}AC=BE,\\\angle A=\angle B,\\AD=BC,\end{cases}$
∴△ADC≌△BCE(SAS).
∴DC=CE.
(2)解：由
(1)得，△ADC≌△BCE.
∴∠ADC=∠BCE=20°.
∵∠A=40°，
∴∠FCD=∠A+∠ADC=60°，
∴∠ECD=∠FCD+∠BCE=60°+20°=80°.
∵∠CED=50°，
∴∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=50°.