《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

19. (12分)如图，在△ABC中，AB = AC，点D是CA延长线上的一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F.
(1)求证：△ADF是等腰三角形.
(2)若EF = 4，点F是AB的中点，求DF的长.

答案：
19.
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=∠FEB=90°.
∴∠C+∠D=90°,∠B+∠BFE=90°.
∴∠D=∠BFE.
∵∠BFE=∠AFD,
∴∠D=∠AFD.
∴AD=AF.
∴△ADF是等腰三角形.
(2)解:如图，过点A作AG⊥DE于点G.
∴∠AGF=∠BEF=90°.
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF.
在△AFG和△BFE中，
∠AGF=∠BEF，
∠AFG=∠BFE，
AF=BF，
∴△AFG≌△BFE(AAS).
∴GF=EF=4.
∵△ADF是等腰三角形，AG⊥DF，

∴DF=2GF=8.

20. (13分)如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，点D是BC的中点，DE⊥AB交AB于点E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接AD，CF交于点G.
(1)求证：AD⊥CF.
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由.

答案： 20.
(1)证明:
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∴∠BDE=90°-∠CBA=45°.
∵BF//AC,
∴∠CBF=180°-∠ACD=90°.
∴∠BFD=180°-∠BDE-∠CBF=45°.
∴∠BFD=∠BDE.
∴BF=BD.
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD.
∴BF=CD.
在△CBF和△ACD中，
BF=CD，
∠CBF=∠ACD，
CB=AC，
∴△CBF≌△ACD(SAS).
∴∠BCF=∠CAD.
∵∠BCF+∠GCA=90°,
∴∠CAD+∠GCA=90°.
∴∠CGA=90°.
∴AD⊥CF.
(2)△ACF是等腰三角形.
理由:由
(1)得,△CBF≌△ACD.
∴CF=AD.
∵BD=BF,∠DBF=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形.
∵BE⊥DF,
∴BE垂直平分DF.
∴AF=AD.
∴CF=AF.
∴△ACF是等腰三角形.