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10. ◆2025·大连沙河口区期末◆ 如图，在△ABC中，$ \angle C = 90°$，$ \angle A = 30°$，BD平分$ \angle ABC$，点E是AD的中点，过点E作AC的垂线，与BD的延长线交于点F.下列结论：①BC = EF；②DF = 2CD；③$ \angle CEB = 45°$；④$S_{\triangle BEF} = 2S_{\triangle BEA}$.其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：
10.C
11. 若等腰三角形的顶角是110°，则腰上的高与底边的夹角的度数是
$55^{\circ}$
.
答案：
11.$55^{\circ}$
12. 如图，在Rt△ABC中，$ \angle C = 90°$，$ \angle A = 30°$.若AB + BC = 12cm，则AB的长是
8
cm.
答案：
12.8
13. ◆2025·沈阳沈河区期末◆ 如图，在△ABC中，AC = BC = 8，AB = 6，分别以点B和点C为圆心，大于$ \frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交AC，BC于点D，E，连接BD，则△ABD的周长为
14
.
答案：
13.14
14. 如图，在三角形纸片ABC中，$ \angle ACB = 90°$，在BC边上取一点P，将△ABC沿AP折叠，使点B与AC延长线上的点D重合.若$ \angle CPD = 40°$，则$ \angle PAC$的度数是
$20^{\circ}$
.
答案：
14.$20^{\circ}$
15. 如图，在△ABC中，AB = AC = 5，$S_{\triangle ABC} = 12$，AD是△ABC的中线，点F是线段AD上的动点，点E是AC边上的动点，连接EF，CF，则CF + EF的最小值是
$\frac{24}{5}$
.
答案：
15.$\frac{24}{5}$ 【解析】连接$BF$.易证$BF=CF$.
$\therefore CF+EF=BF+EF$.
$\therefore$当点$B$,$F$,$E$共线且$BE\perp AC$时,$CF+EF$的值最小.此时$BE=CF+EF$.
$\because AC=5$,$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BE· AC=12.\therefore BE=\frac{24}{5}$.
$\therefore CF+EF$的最小值是$\frac{24}{5}$.
$\therefore CF+EF=BF+EF$.
$\therefore$当点$B$,$F$,$E$共线且$BE\perp AC$时,$CF+EF$的值最小.此时$BE=CF+EF$.
$\because AC=5$,$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BE· AC=12.\therefore BE=\frac{24}{5}$.
$\therefore CF+EF$的最小值是$\frac{24}{5}$.
16. (10分)如图，在△ABC中，AB = AC，点D，E在边BC上，且BD = CE.求证：$ \angle ADE = \angle AED$.
答案：
16.证明：$\because AB=AC$,$\therefore \angle B=\angle C$.
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中,$\begin{cases}AB=AC,\\\angle B=\angle C,\\BD=CE,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$.
$\therefore AD=AE.\therefore \angle ADE=\angle AED$.
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中,$\begin{cases}AB=AC,\\\angle B=\angle C,\\BD=CE,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$.
$\therefore AD=AE.\therefore \angle ADE=\angle AED$.
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