《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

20. (15 分)阅读材料并解决问题：
利用完全平方公式，将多项式$x^{2}+bx + c$变形为$(x + m)^{2}+n$的形式，然后由$(x + m)^{2} \geq 0$就可以求出多项式$x^{2}+bx + c$的最小值.例如，求$x^{2}+8x + 21$的最小值.
解：$x^{2}+8x + 21 = x^{2}+2 × 4x + 4^{2}-4^{2}+21 = (x + 4)^{2}+5$.
$\because$无论$x$取何值，$(x + 4)^{2}$总是非负数，即$(x + 4)^{2} \geq 0$，
$\therefore (x + 4)^{2}+5 \geq 5$.
$\therefore$当$x = -4$时，$x^{2}+8x + 21$有最小值，最小值为$5$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：$x^{2}-12x +$36$=(x -$6$)^{2}$.
(2)将多项式$x^{2}+16x - 1$变形为$(x + m)^{2}+n$的形式，并求出$x^{2}+16x - 1$的最小值.
(3)如图，比较两个长方形的面积$S_{1},S_{2}$的大小，并说明理由.

答案： 20.
(1)36　6
(2)解:x²+16x-1=x²+16x+64-64-1=(x+8)²-65。
∵无论x取何值，(x+8)²总是非负数，
　　即(x+8)²≥0，
∴(x+8)²-65≥-65。
∴x²+16x-1的最小值为-65。
(3)解:
∵S₁=(2a+3)(3a+5)=6a²+19a+15，
　　S₂=5a(a+3)=5a²+15a，
∴S₁-S₂=6a²+19a+15-5a²-15a=a²+4a+4+11=(a+2)²+11。
∵无论a取何值，(a+2)²总是非负数，
　　即(a+2)²≥0，
∴(a+2)²+11≥11。
∴S₁-S₂＞0。
∴S₁＞S₂。