《2025年点石成金金牌夺冠八年级数学上册人教版辽宁专版》

21. (13分)如图1，AD，BC交于点O，连接AB，CD，可以得出两个三角形中的角存在以下数量关系：
①∠DOC = ∠AOB；②∠D + ∠C = ∠A + ∠B.
【提出问题】
如图2，分别作∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线相交于点E.求∠E，∠D和∠B之间的数量关系.
【解决问题】
为了解决上述问题，我们先从几个特殊情况开始探究.
(1)如图3，若AB//CD，∠D = 30°，∠B = 40°，则∠E = _______.
(2)如图4，若AB与CD不平行，∠D = 30°，∠B = 50°，求∠E的度数.
小明是这样思考的，请你帮他完成推理过程：
易证∠D + ∠1 = ∠E + ∠3，∠B + ∠4 = ∠E + ∠2，
∴∠D + ∠1 + ∠B + ∠4 = _______.
∵CE，AE分别是∠BCD和∠BAD的平分线，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴2∠E = _______.
∵∠D = 30°，∠B = 50°，
∴∠E = _______.
(3)在总结前两问结论的基础上，借助图2，请直接写出∠E，∠D和∠B之间的数量关系是_______.

【类比应用】
(4)如图5，∠BAD的平分线AE和∠BCD的平分线CE相交于点E.已知∠D = m°，∠B = n°(m ＜ n)，求∠E的度数.

答案： 21.
(1)35°
(2)2∠E+∠2+∠3 = ∠D+∠B　40°
(3)2∠E=∠D+∠B
(4)解:如图，延长BC交AD于点F.
∵∠BFD和∠BCD分别是△ABF和△CDF的外角，
∴∠BFD=∠B+∠BAD,∠BCD=∠BFD+∠D.
∴∠BCD=∠B+∠D+∠BAD.
∵AE,CE分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,
∴∠E=∠B+∠EAB−∠ECB=∠B+$\frac{1}{2}$∠BAD−$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+$\frac{1}{2}$∠BAD−$\frac{1}{2}$(∠B+∠D+∠BAD)=$\frac{1}{2}$(∠B−∠D).
∵∠D=m°,∠B=n°,
∴∠E=$\frac{1}{2}$(n−m)°.