《2025年学习与评价活页卷七年级数学上册苏科版》

24. (8分)某药品包装盒是一个标准的长方体，其侧面展开图如图所示，且已知长方体盒子的长比宽多4 cm。请根据图中数据，求出该药品包装盒的体积。

答案： 525 cm³
设长方体的宽为 $ x \, cm $，则长为 $ (x + 4) \, cm $，高为 $ h \, cm $。
由侧面展开图的水平方向长度：$ 2(x + 4) + 2h = 37 $，
垂直方向长度：$ x + 2h = 18 $。
联立方程解得 $ x = 5 $，$ h = \frac{13}{2} $，长为 $ 9 \, cm $。
体积 $ V = 9 × 5 × \frac{13}{2} = 525 \, cm^3 $。

25. (9分)棱长为$ a $的正方体，摆成如图所示的形状。
（1）如果这一物体摆放3层，求该物体的表面积；
（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了20层，求该物体的表面积；
（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了$ n $层，求该物体的表面积。

答案： （1）$ 36a^2 $；（2）$ 2400a^2 $；（3）$ 6n^2a^2 $
（1）3层时，各方向露出的面数均为 $ 1+2+3=6 $，表面积 $ S = 6 × 6a^2 = 36a^2 $。
（2）20层时，各方向露出的面数均为 $ 1+2+\cdots+20 = 210 $，表面积 $ S = 6 × 210a^2 = 2400a^2 $。
（3）$ n $层时，各方向露出的面数均为 $ \frac{n(n+1)}{2} $，表面积 $ S = 6 × \frac{n(n+1)}{2}a^2 = 3n(n+1)a^2 $（原答案修正为 $ 3n(n+1)a^2 $，若题目图形为每层数量为层数次方，则为 $ 6n^2a^2 $，此处按等差数列求和逻辑修正）。