《2025年学习与评价活页卷七年级数学上册苏科版》

22. （8分）一个两位数的十位上的数为$a$，个位上的数为$b$，这个两位数记作$\overline{ab}$；一个三位数的百位上的数为$x$，十位上的数为$y$，个位上的数为$z$，这个三位数记作$\overline{xyz}$。
（1）$(\overline{ab}+\overline{ba})$能被11整除吗？请说明理由；
（2）小明发现：如果$(x + y + z)$能被3整除，那么$\overline{xyz}$就能被3整除。请补全小明的证明思路。
小明的证明思路
因为$\overline{xyz}=$①______，
=②______$+(x + y + z)$，
又因为代数式②和$(x + y + z)$都能被3整除，
所以$\overline{xyz}$能被3整除。

答案： （1）能，理由见解析；（2）①$100x + 10y + z$，②$99x + 9y$
解析：
（1）$\overline{ab}=10a + b$，$\overline{ba}=10b + a$，$\overline{ab}+\overline{ba}=11a + 11b=11(a + b)$，所以能被11整除；
（2）$\overline{xyz}=100x + 10y + z=99x + 9y+(x + y + z)$，因为$99x + 9y=9(11x + y)$能被3整除，$x + y + z$能被3整除，所以$\overline{xyz}$能被3整除。

23. （8分）根据下表，回答问题。
| $x$ | … | $-1\frac{1}{2}$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $1\frac{1}{2}$ | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x + 2$ | … | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $1\frac{1}{2}$ | $2$ | $a$ | $3$ | $3\frac{1}{2}$ | … |
| $x^{2}+2$ | … | $4\frac{1}{4}$ | $3$ | $2\frac{1}{4}$ | $2$ | $b$ | $3$ | $4\frac{1}{4}$ | … |
（1）$a=$______，$b=$______；
（2）若$x + 2=x^{2}+2$，则$x=$______；
（3）写出$x + 2$与$x^{2}+2$的大小关系。

答案： （1）$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$；（2）$0$或$1$；（3）当$0 ＜ x ＜ 1$时，$x + 2＞x^{2}+2$；当$x = 0$或$x = 1$时，$x + 2=x^{2}+2$；当$x ＜ 0$或$x＞1$时，$x + 2 ＜ x^{2}+2$
解析：
（1）$x=\frac{1}{2}$时，$a=x + 2=\frac{5}{2}$；$x=\frac{1}{2}$时，$b=x^{2}+2=(\frac{1}{2})^{2}+2=\frac{9}{4}$；
（2）$x + 2=x^{2}+2$，$x^{2}-x = 0$，$x(x - 1)=0$，$x = 0$或$x = 1$；
（3）由表可知，当$0 ＜ x ＜ 1$时，$x + 2＞x^{2}+2$；当$x = 0$或$x = 1$时，$x + 2=x^{2}+2$；当$x ＜ 0$或$x＞1$时，$x + 2 ＜ x^{2}+2$。