《2025年学习与评价活页卷七年级数学上册苏科版》

20. （8分）如图，长方形的长为$x$，长方形的宽和扇形的半径均为$y$。
（1）求阴影部分的面积$S$；（用含$x$、$y$的代数式表示）
（2）当$x = 8$，$y = 4$时，求$S$的值。（结果保留$\pi$）
第20题

答案： （1）$\frac{1}{4}\pi y^{2}+\frac{1}{2}xy$；（2）$4\pi + 16$
解析：
（1）阴影部分由扇形和三角形组成，扇形面积为$\frac{1}{4}\pi y^{2}$，三角形底为$x$，高为$y$，面积为$\frac{1}{2}xy$，所以$S=\frac{1}{4}\pi y^{2}+\frac{1}{2}xy$；
（2）当$x = 8$，$y = 4$时，$S=\frac{1}{4}\pi×4^{2}+\frac{1}{2}×8×4=4\pi + 16$。

21. （8分）观察下列各式：
①$1×3 + 1=2^{2}$；
②$2×4 + 1=3^{2}$；
③$3×5 + 1=4^{2}$；
④$4×6 + 1=5^{2}$。
根据你发现的规律解答下列问题。
（1）写出第5个等式：______；
（2）写出第$n$个等式：______；
（3）计算：$(1+\frac{1}{1×3})×(1+\frac{1}{2×4})×(1+\frac{1}{3×5})×\cdots×(1+\frac{1}{98×100})×(1+\frac{1}{99×101})$。

答案： （1）$5×7 + 1=6^{2}$；（2）$n(n + 2)+1=(n + 1)^{2}$；（3）$\frac{200}{101}$
解析：
（1）第5个等式为$5×7 + 1=6^{2}$；
（2）第$n$个等式为$n(n + 2)+1=(n + 1)^{2}$；
（3）原式$=\frac{1×3 + 1}{1×3}×\frac{2×4 + 1}{2×4}×\cdots×\frac{99×101 + 1}{99×101}=\frac{2^{2}}{1×3}×\frac{3^{2}}{2×4}×\cdots×\frac{100^{2}}{99×101}=\frac{2×100}{1×101}=\frac{200}{101}$。