《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

6. 如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象开口向上,对称轴为直线 $ x = 1 $,图象经过点$(3,0)$,下列结论中,正确的一项是(C)


A.$ abc ＜ 0 $
B.$ 2a + b ＜ 0 $
C.$ a - b + c = 0 $
D.$ a + b + c ＞ 0 $

答案： C

▲7. 若一次函数 $ y = ax + b $ 的图象经过第二、三、四象限,则二次函数 $ y = ax^{2} + bx $ 的图象只可能是(C)

答案： C

8. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 中,$ a ＞ 0,b ＜ 0,c ＜ 0 $,则其图象的顶点是在第四象限.

答案： 四

9. 抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^{2} - 2x - 5 $ 关于 $ y $ 轴对称的抛物线的函数表达式为$y = \frac{1}{3}x^{2}+2x - 5$.

答案： $y = \frac{1}{3}x^{2}+2x - 5$

10. 若二次函数的图象对称轴是直线 $ x = \frac{3}{2} $,并且图象过 $ A(0,-4) $ 和 $ B(4,0) $.
(1) 求此二次函数图象上点 $ A $ 关于对称轴 $ x = \frac{3}{2} $ 对称的点 $ A' $ 的坐标.
(2) 求此二次函数的表达式.
(3) 画出这个二次函数的图象.

答案：
(1)设点$A$关于对称轴$x = \frac{3}{2}$的对称点为$A^{\prime}(x,y)$。
由于点$A$和点$A^{\prime}$关于对称轴对称，所以它们的纵坐标相同，即$y = -4$。
点$A$和点$A^{\prime}$到对称轴的距离相等，所以$\frac{0 + x}{2} = \frac{3}{2}$，解得$x = 3$。
因此，点$A^{\prime}$的坐标为$(3, -4)$。
(2)设二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$。
由于对称轴是$x = \frac{3}{2}$，所以$-\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}$。
又因为函数图象过点$A(0, -4)$，所以$c = -4$。
将点$B(4, 0)$代入函数表达式，得到$16a + 4b - 4 = 0$。
解这个方程组：
$\begin{cases}-\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}, \\16a + 4b - 4 = 0.\end{cases}$
得到$a = \frac{1}{2}$，$b = -\frac{3}{2}$。
因此，二次函数的表达式为$y = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x - 4$。
(3)此题要求画出二次函数的图象，由于这是一个实际的绘图操作，无法用文字描述，故说明关键点：
列表：选取几个$x$值，计算出对应的$y$值，列出表格。
描点：在坐标系中描出这些点。
连线：用平滑的曲线连接这些点，得到二次函数的图象。
（图像为开口向上的抛物线，与y轴交点（0，-4），与x轴交点（-2，0），（4，0）等，顶点为（1.5，-6.125）在答题卡画出即可）