《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

▲6. 如图,$AB为\odot O$的一固定直径,它把$\odot O$分成上、下两个半圆,自上半圆上一点$C作弦CD\perp AB$,$\angle OCD的平分线交\odot O于点P$,当点$C$在上半圆(不包括$A$,$B$两点)上移动时,点$P$(B)

A.到$CD$的距离保持不变
B.位置不变
C.等分$\overset{\frown}{BD}$
D.随$C$点的移动而移动
]

答案： B

7. 如图,$\odot O的两条弦AF$,$BE的延长线交于C$点,$\angle ACB的平分线CD过点O$,请直接写出图中一对相等的线段：AF=BE。

答案： 【解析】过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N。因为CD平分∠ACB，O在CD上，所以OM=ON（角平分线上的点到角两边距离相等）。OM、ON分别为弦AF、BE的弦心距，同圆中弦心距相等则弦相等，故AF=BE。
【答案】AF=BE

8. 如图,已知$\odot O的弦AB$,$E$,$F是\overset{\frown}{AB}$上两点,且$\overset{\frown}{AE}= \overset{\frown}{BF}$,$OE$,$OF分别交AB于点C$,$D$。求证：$AC = BD$。

答案： 连接$OA,OB$。
由于$\overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{BF}$，
根据等弧所对的圆心角相等，
所以$\angle AOE = \angle BOF$。
因为$OA = OB$（半径相等），
根据等腰三角形的性质，$\angle OAB = \angle OBA$，
在$\triangle OAC$和$\triangle OBD$中，
$\angle AOC = \angle BOD$（由$\angle AOE = \angle BOF$得出），
$OA = OB$（半径相等），
$\angle OAC = \angle OBD$（等腰三角形的底角相等），
根据角边角全等判定，
所以$\triangle OAC \cong \triangle OBD$，
由于全等三角形的对应边相等，
所以$AC = BD$。

▲9. 如图,$A$,$B$,$C是\odot O$上三点,$\angle AOB = 120^{\circ}$,$C是\overset{\frown}{AB}$的中点,试判断四边形$OACB$形状,并说明理由。

答案： 四边形OACB是菱形。理由如下：
∵A,B,C是⊙O上三点，
∴OA=OB=OC（同圆半径相等）。
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠AOC=∠COB（等弧所对圆心角相等）。
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠COB=60°。
在△OAC中，OA=OC，∠AOC=60°，
∴△OAC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AC=OA。
同理，△OBC是等边三角形，BC=OB。
∵OA=OB，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形OACB是菱形（四边相等的四边形是菱形）。