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1. $\odot O的半径为5\mathrm{cm}$,$A为OP$的中点,若$OP = 6\mathrm{cm}$,则点$A与\odot O$的位置关系是(
A.点$A在\odot O$上
B.点$A在\odot O$内
C.点$A在\odot O$外
D.不能确定
B
)A.点$A在\odot O$上
B.点$A在\odot O$内
C.点$A在\odot O$外
D.不能确定
答案：
B
2. 以下命题：(1)同圆中等弧对等弦；(2)圆心角相等,它们所对的弧长也相等；(3)三点确定一个圆；(4)平分弦的直径必垂直于这条弦. 其中正确的命题的个数是(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：
A
3. 如图,在半径为$5的\odot O$中,若弦$AB的长为8$,则弦心距$OC = $(
A.2
B.3
C.4
D.6
]
B
)A.2
B.3
C.4
D.6
]
答案：
B
4. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot A经过原点O$,并且分别与$x$轴,$y轴交于B$,$C$两点,已知$B(8,0)$,$C(0,6)$,则$\odot A$的半径为(
A.3
B.4
C.5
D.8
C
)A.3
B.4
C.5
D.8
答案：
C
5. 如图,在$\odot O$中,弦$AC$,$BD相交于点M$,且$\angle A= \angle B$.
(1)求证：$AC = BD$.
(2)若$OA = 2$,$\angle A = 30^{\circ}$,当$AC\perp BD$时,求$\overset{\frown}{CD}$的长.
]
(1)求证：$AC = BD$.
(2)若$OA = 2$,$\angle A = 30^{\circ}$,当$AC\perp BD$时,求$\overset{\frown}{CD}$的长.
]
答案：
1. （1）证明：
连接$BC$，$AD$。
在$\odot O$中，$\angle A$和$\angle D$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，所以$\angle A=\angle D$。
已知$\angle A = \angle B$，则$\angle B=\angle D$。
因为$\angle BMC=\angle AMD$（对顶角相等），且$\angle B=\angle D$，$\angle A=\angle D$，$\angle A=\angle B$。
在$\triangle BMC$和$\triangle AMD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle BMC=\angle AMD\\BC = AD\end{array}\right.$（同圆中，等圆周角所对的弦相等，$\angle A=\angle D$，所以$BC = AD$）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）可得$\triangle BMC\cong\triangle AMD$。
所以$CM = DM$，$BM = AM$。
则$CM + AM=DM + BM$，即$AC = BD$。
2. （2）解：
连接$OC$，$OD$。
因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle A=\angle D$（同弧所对圆周角相等），所以$\angle D = 30^{\circ}$。
又因为$AC\perp BD$，在$Rt\triangle ADM$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AMD = 90^{\circ}$，则$\angle DAM=60^{\circ}$。
因为$OA = OC = OD = OB = 2$（半径）。
由$\angle A=\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BOC = 2\angle A$（同弧所对圆心角是圆周角的$2$倍），$\angle AOD = 2\angle B$。
所以$\angle BOC=\angle AOD = 60^{\circ}$。
因为$\angle AOC+\angle AOD+\angle DOC+\angle BOC = 360^{\circ}$，且$\angle AOC=\angle BOD$（$AC = BD$，等弦所对圆心角相等）。
又因为$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC$，$\angle AOB = 120^{\circ}$（$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle AOB=180^{\circ}-(\angle OAB+\angle OBA)=120^{\circ}$）。
所以$\angle DOC = 60^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角弧度数，$r$是半径），这里$n = 60$，$r = 2$。
则$\overset{\frown}{CD}$的长$l=\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2\pi}{3}$。
综上，（1）得证$AC = BD$；（2）$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2\pi}{3}$。
连接$BC$，$AD$。
在$\odot O$中，$\angle A$和$\angle D$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，所以$\angle A=\angle D$。
已知$\angle A = \angle B$，则$\angle B=\angle D$。
因为$\angle BMC=\angle AMD$（对顶角相等），且$\angle B=\angle D$，$\angle A=\angle D$，$\angle A=\angle B$。
在$\triangle BMC$和$\triangle AMD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle BMC=\angle AMD\\BC = AD\end{array}\right.$（同圆中，等圆周角所对的弦相等，$\angle A=\angle D$，所以$BC = AD$）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）可得$\triangle BMC\cong\triangle AMD$。
所以$CM = DM$，$BM = AM$。
则$CM + AM=DM + BM$，即$AC = BD$。
2. （2）解：
连接$OC$，$OD$。
因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle A=\angle D$（同弧所对圆周角相等），所以$\angle D = 30^{\circ}$。
又因为$AC\perp BD$，在$Rt\triangle ADM$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle AMD = 90^{\circ}$，则$\angle DAM=60^{\circ}$。
因为$OA = OC = OD = OB = 2$（半径）。
由$\angle A=\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BOC = 2\angle A$（同弧所对圆心角是圆周角的$2$倍），$\angle AOD = 2\angle B$。
所以$\angle BOC=\angle AOD = 60^{\circ}$。
因为$\angle AOC+\angle AOD+\angle DOC+\angle BOC = 360^{\circ}$，且$\angle AOC=\angle BOD$（$AC = BD$，等弦所对圆心角相等）。
又因为$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC$，$\angle AOB = 120^{\circ}$（$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle AOB=180^{\circ}-(\angle OAB+\angle OBA)=120^{\circ}$）。
所以$\angle DOC = 60^{\circ}$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角弧度数，$r$是半径），这里$n = 60$，$r = 2$。
则$\overset{\frown}{CD}$的长$l=\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2\pi}{3}$。
综上，（1）得证$AC = BD$；（2）$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2\pi}{3}$。
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