《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

1. 下列函数中，不一定是二次函数的是（D）
A.$ y = 5x^{2} + 1 $
B.$ y = - 2x^{2} + 3x $
C.$ y = - 5x^{2} $
D.$ y = ax^{2} + bx + c $

答案： D

2. 若二次函数 $ y = ( - 2x + 1 ) ^{2} - 5 $ 的二次项系数为 $ a $，一次项系数为 $ b $，常数项为 $ c $，则 $ b^{2} - 4ac = $80.

答案： 80

3. 某工厂第一年的利润为 30 万元，第三年的利润 $ y $（万元）与平均年增长率 $ x $ 之间的函数表达式是$y = 30(1 + x)^{2}$.

答案： $y = 30(1 + x)^{2}$

4. 正方形的边长为 3，若边长增加 $ x $，那么面积增加 $ y $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是（C）
A.$ y = x^{2} + 9 $
B.$ y = ( x + 3 ) ^{2} $
C.$ y = x^{2} + 6x $
D.$ y = 9 - x^{2} $

答案： C

5. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} + bx - c $，当 $ x = - 2 $ 时，$ y = 0 $；当 $ x = 3 $ 时，$ y = 0 $.
（1）求 $ b $，$ c $ 的值.
（2）当 $ x = - 3 $ 时，求 $ y $ 的值.

答案： （1）将$x=-2$，$y=0$代入$y=2x^{2}+bx - c$，得$2×(-2)^{2}+b×(-2)-c=0$，即$8 - 2b - c=0$；将$x=3$，$y=0$代入，得$2×3^{2}+b×3 - c=0$，即$18 + 3b - c=0$。联立方程组$\begin{cases}8 - 2b - c=0\\18 + 3b - c=0\end{cases}$，两式相减得$10 + 5b=0$，解得$b=-2$，代入$8 - 2×(-2)-c=0$，得$c=12$。
（2）由（1）知二次函数为$y=2x^{2}-2x - 12$，当$x=-3$时，$y=2×(-3)^{2}-2×(-3)-12=18 + 6 - 12=12$。
（1）$b=-2$，$c=12$；（2）$12$

6. 如图，一块矩形草地的长为 100m，宽为 80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 $ x $（m）的小路，这时草坪的面积为 $ y $（$ m^{2} $）.求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式，并求出 $ x $ 的取值范围.
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答案： 由题意，两条小路互相垂直，宽均为$x$m。
矩形草地的长为$100$m，修筑一条宽为$x$m的纵向小路后，剩余草坪的长为$(100 - x)$m；宽为$80$m，修筑一条宽为$x$m的横向小路后，剩余草坪的宽为$(80 - x)$m。
草坪面积$y=(100 - x)(80 - x)$，展开得：
$y=100×80 - 100x - 80x + x² = x² - 180x + 8000$
因为小路宽$x$必须为正数，且不能超过草地的长和宽，所以$x ＞ 0$，$100 - x ＞ 0$，$80 - x ＞ 0$，即$0 ＜ x ＜ 80$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为$y = x² - 180x + 8000$，$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 80$。