《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

5. 一条弦把圆分为$2:3$的两部分,那么这条弦所对的圆周角的度数为72°或108°.

答案： $72°$或$108°$（按照题目要求可能需分别简化或对应选项，若为填空则直接写度数，若多选则选对应项如假设选项C为二者之一则可能为C包含两情况等，此处按给出具体解则直接陈述度数）。
由于要求直接，故答案填写为对应两度数情况（若题目为填一空则可能需分别题两空等，本题按陈述则）：
（若必须选一个盒装答案格式则按题目可能的设计为选两个中一个的表示，但题目实际应求具体值，解析已给出两值，按此题常见设计为求两解则）：
$\boxed{72° 或108°}$

6. 如图,$CD是\odot O$的直径,$A$,$B是\odot O$上两点,若$\angle ABD= 20^{\circ}$,则$\angle ADC$的度数为(D)

A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： D

7. 如图,已知$\odot O$中,$AB$为直径,$AB= 10cm$,弦$AC= 6cm$,$\angle ACB的平分线交\odot O于D$。求$BC$,$AD和BD$的长。

答案： 答题卡：
1. 求$BC$的长：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = \angle ADB=90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 10cm$，$AC = 6cm$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$，可得$BC=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8cm$。
2. 求$AD$和$BD$的长：
因为$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACD=\angle BCD$，则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），所以$AD = BD$（在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等）。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 10cm$，$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，又因为$AD = BD$，所以$2AD^{2}=AB^{2}=100$，则$AD^{2}=50$，$AD = BD=\sqrt{50}=5\sqrt{2}cm$。
综上，$BC$长$8cm$，$AD$长$5\sqrt{2}cm$，$BD$长$5\sqrt{2}cm$。

▲8. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 2\angle A$,$BM平分\angle ABC交\triangle ABC的外接圆于点M$,$ME// BC交AB于点E$。试判断四边形$EBCM$的形状,并加以证明。

答案： 四边形EBCM是菱形。
证明：
1. 设∠A=x，则∠ABC=2x。
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠MBC=x。
2.
∵A、B、C、M四点共圆，∠BAC=∠ABM=x，
∴AM=BM（等角对等边）。
3.
∵ME//BC，
∴∠EMB=∠MBC=x（内错角相等）。又∠ABM=x，
∴∠EMB=∠ABM，
∴EB=EM（等角对等边）。
4. ∠BAC=x，其所对弧BC度数为2x；∠MBC=x，其所对弧MC度数为2x，
∴弧BC=弧MC，
∴BC=MC（等弧对等弦）。
5. ∠BMC与∠BAC均对弧BC，
∴∠BMC=∠BAC=x（同弧所对圆周角相等）。
6.
∵∠ABM=∠BMC=x，
∴EB//MC（内错角相等，两直线平行）。
7.
∵ME//BC且EB//MC，
∴四边形EBCM是平行四边形（两组对边分别平行）。
8.
∵BC=MC，平行四边形EBCM中MC=EB，
∴BC=EB，
∴平行四边形EBCM是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
综上，四边形EBCM是菱形。