《2025年层层递进七年级数学上册苏科版》

19. (8 分)如图，点$O$是直线$CE$上一点，以$O$为顶点作$\angle AOB = 90^{\circ}$，且$OA$，$OB$位于直线$CE$两侧，$OB$平分$\angle COD$.
(1) ①当$\angle AOC = 50^{\circ}$时，$\angle DOE$的度数为$100°$；
②当$\angle AOC = 72^{\circ}$时，$\angle DOE$的度数为$144°$.
(2) 通过(1)的计算，请你猜想$\angle AOC$和$\angle DOE$的数量关系，并说明理由.

答案： 1. 首先，根据已知条件进行分析：
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOC+\angle BOC = \angle AOB$，所以$\angle BOC=90^{\circ}-\angle AOC$。
又因为$OB$平分$\angle COD$，根据角平分线的定义，$\angle COD = 2\angle BOC$。
由于$\angle DOE+\angle COD = 180^{\circ}$（邻补角的定义：两角之和为$180^{\circ}$）。
2. 然后，推导$\angle AOC$与$\angle DOE$的关系：
把$\angle BOC = 90^{\circ}-\angle AOC$代入$\angle COD = 2\angle BOC$中，可得$\angle COD=2(90^{\circ}-\angle AOC)=180^{\circ}-2\angle AOC$。
再把$\angle COD = 180^{\circ}-2\angle AOC$代入$\angle DOE+\angle COD = 180^{\circ}$中，即$\angle DOE+(180^{\circ}-2\angle AOC)=180^{\circ}$。
对$\angle DOE+(180^{\circ}-2\angle AOC)=180^{\circ}$进行化简：
根据等式的性质，$\angle DOE+180^{\circ}-2\angle AOC = 180^{\circ}$。
等式两边同时减去$180^{\circ}$，得到$\angle DOE-2\angle AOC=0$。
所以$\angle DOE = 2\angle AOC$。

20. (12 分)(1) 如图 1，在$3×3$的网格图中，标注了$6$个角，这些角中，有哪些互余的角？请分别写出来.
(2) 如图 2，在$5×5$的网格图中，标注了一些线段$AB$，$AI$，$CF$，$DF$，$EG$，$EI$，$CH$，$MH$，哪些线段是平行的？哪些线段是垂直的？请你分别写出来.
(3) 如图 3，在正方形网格中，小格的顶点叫作格点.小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了$Rt\triangle ABC$.请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形各不相同.

答案：
20. 
(1) 根据全等的直角三角形可知∠1与∠6；∠2与∠5；∠3与∠4是互余的角；

(2) 根据正方形的性质，可知：平行的关系为：AB//EI、CF//MH、AJ//DF、EG//CH

垂直的关系为：AB⊥CF、EI⊥CF、AB⊥MH、EI⊥MH；

(3) 如图所示：满足题意的直角三角形ABC，