《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

6. (1)a为何值时,关于x的分式方程$\frac {x+1}{x+2}= \frac {2a-3}{a+5}的解为x= 0.$
(2)当m为何值时,关于x的方程$\frac {2}{x-2}+\frac {mx}{x^{2}-4}= \frac {3}{x+2}$有增根.
(3)已知$\frac {3x-4}{x^{2}-3x+2}= \frac {A}{x-1}+\frac {B}{x-2}$,求$4A-B$的值.

答案：
(1)解:把$x = 0$代入方程$\frac {x + 1}{x + 2}=\frac {2a - 3}{a + 5}$,得$\frac {1}{2}=\frac {2a - 3}{a + 5}$,解得$a=\frac {11}{3}$,检验:当$a=\frac {11}{3}$时,$a + 5\neq0,\therefore a=\frac {11}{3}$是原方程的根.
(2)解:方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$,得$2(x + 2)+mx=3(x - 2)$,化简,得$(m - 1)x=-10$,
∵方程有增根,$\therefore x=\pm2$.当$x = 2$时,代入$(m - 1)x=-10$,得$2(m - 1)=-10$,解得$m=-4$;当$x=-2$时,代入$(m - 1)x=-10$,得$-2(m - 1)=-10$,解得$m = 6$.$\therefore$当$m$为$-4$或$6$时,关于$x$的方程$\frac {2}{x - 2}+\frac {mx}{x^{2}-4}=\frac {3}{x + 2}$有增根.
(3)解:$\because \frac {3x - 4}{x^{2}-3x + 2}=\frac {A}{x - 1}+\frac {B}{x - 2}$,$\therefore \frac {3x - 4}{x^{2}-3x + 2}=\frac {A(x - 2)+B(x - 1)}{x^{2}-3x + 2}=\frac {(A + B)x - 2A - B}{x^{2}-3x + 2}$.$\therefore \left\{\begin{array}{l} A + B = 3,\\ 2A + B = 4,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} A = 1,\\ B = 2.\end{array}\right.$$\therefore 4A - B = 4×1 - 2 = 4 - 2 = 2$.$\therefore 4A - B$的值为$2$.

7. 已知关于x的方程$\frac {2x}{x-2}+\frac {m}{x-2}= -2$.
(1)当$m= 5$时,求方程的解.
(2)当m取何值时,此方程无解.
(3)当此方程的解是正数时,求m的取值范围.

答案：
(1)解:把$m = 5$代入方程$\frac {2x}{x - 2}+\frac {m}{x - 2}=-2$,得$\frac {2x}{x - 2}+\frac {5}{x - 2}=-2$,解得$x=-\frac {1}{4}$,检验:当$x=-\frac {1}{4}$时,$x - 2\neq0,\therefore x=-\frac {1}{4}$是原方程的解.
(2)解:$\because$方程的增根为$x = 2$,方程去分母,得$2x + m=-2x + 4$,$\therefore 4 + m=-4 + 4$,解得$m=-4$.
(3)解:去分母,得$2x + m=-2x + 4$,解得$x=\frac {4 - m}{4}$,$\because x\gt0,\therefore \frac {4 - m}{4}\gt0$,解得$m\lt4$.$\because x\neq2,\therefore m\neq-4$.综上所述,$m\lt4$且$m\neq-4$.

例3 某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用水不超过$5m^{3}$,则每立方米收费1.5元;若每户每月用水超过$5m^{3}$,则超出部分每立方米收取较高的定额费用.3月份,张家用水量是李家用水量的$\frac {2}{3}$,张家当月水费是17.5元,李家当月水费是27.5元.则超出$5m^{3}$的部分每立方米收费多少元?
【名师指导】列方程解决实际情境中的具体问题,是数学实用性最直接的体现,而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型,关键则在于审清题意,找出题中的等量关系,找到它就为列方程指明了方向.

答案： 解:设超出$5m^{3}$部分的水,每立方米收费为$x$元,则$3$月份张家超出$5m^{3}$部分的水费为$(17.5 - 1.5×5)$元,超出$5m^{3}$的用水量为$\frac {17.5 - 1.5×5}{x}m^{3}$,总用水量为$(5+\frac {17.5 - 1.5×5}{x})m^{3}$;李家超出$5m^{3}$部分的水费为$(27.5 - 1.5×5)$元,超出$5m^{3}$的用水量为$\frac {27.5 - 1.5×5}{x}m^{3}$,总用水量为$(5+\frac {27.5 - 1.5×5}{x})m^{3}$,根据等量关系,得$\frac {17.5 - 1.5×5}{x}+5=(\frac {27.5 - 1.5×5}{x}+5)×\frac {2}{3}$,解这个方程,得$x = 2$,经检验,$x = 2$是所列方程的根,且符合题意,$\therefore$超出$5m^{3}$部分的水,每立方米收费$2$元.

例4 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?

答案： 解:设江水的流速为$v$千米/时,则轮船顺流航行的速度为$(20 + v)$千米/时,逆流航行的速度为$(20 - v)$千米/时,可列方程$\frac {100}{20 + v}=\frac {60}{20 - v}$,解得$v = 5$,经检验,$v = 5$为原方程的解,且符合题意.$\therefore$江水的流速为$5$千米/时.