《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

例1 能判定一个四边形是菱形的条件是(C)
A.对角线互相平分且相等
B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相垂直且两组对角分别相等
D.对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角

答案： C

变式题1 如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,且$OB= OD$,请你添加一个适当的条件OA = OC,使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可).

答案： OA = OC （答案不唯一）

例2 如图,$□ ABCD$的对角线AC、BD相交于点O,给出四个条件：①$AB= BC$；②$∠ABC= 90^{\circ }$；③$OA= OB$；④$AC⊥BD$. 从所给的四个条件中任意选择两个为一组,能判定$□ ABCD$是正方形的有(B)
A.3组
B.4组
C.5组
D.6组

答案： B

变式题2 如图,已知$□ ABCD$中,对角线AC、BD交于点O,点E是BD延长线上的点,且$\triangle ACE$是等边三角形.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)若$∠AED= 2∠EAD$,求证：四边形ABCD是正方形.

答案： 证明:
(1)
∵ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AO = OC $。
∵ $ \triangle ACE $ 是等边三角形，$ \therefore EO \perp AC $。$ \therefore BD \perp AC $。
∴ 四边形 $ ABCD $ 是菱形。
(2)
∵ $ \triangle ACE $ 是等边三角形，点 $ O $ 是 $ AC $ 中点，$ \therefore \angle AED = 30^\circ $。
∵ $ \angle AED = 2 \angle EAD $，$ \therefore \angle EAD = 15^\circ $。$ \therefore \angle ADB = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ $。
同理可得 $ \angle CDB = 45^\circ $，$ \therefore \angle ADC = 90^\circ $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ 四边形 $ ABCD $ 是正方形。