《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

15. 对于两个不相等的数a、b,我们规定$min\{ a,b\} (a≠0)$表示a、b中的较小的值. 例如$min\{ 2,3\} = 2$,按照这个规定,方程$min\{ \frac {1}{1-x},\frac {2}{1-x}\} = \frac {2}{x-1}-3$的解为$\frac 73$.

答案： x=$\frac 73$

16. (6分)(1)计算：$(-1)^{2022}-\sqrt [3]{8}+(π-3.14)^{0}+(\frac {1}{5})^{-1}$.
(2)解方程：$1+\frac {x-5}{x-4}= \frac {1}{x-4}$.

答案：
(1)计算：原式=1-2+1+5=5；
(2)解方程：去分母，得x-4+x-5=1. 移项、合并同类项，得2x=10. 系数化为1，得x=5. 检验：当x=5时，x-4=5-4=1≠0，所以x=5是原方程的解.

17. (6分)先化简：$(\frac {a^{2}}{a+1}-a+1)÷\frac {a}{a^{2}-1}$,再从-1,0,1,2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值.

答案： 先化简：$\left(\frac{a^{2}}{a+1}-a+1\right) ÷ \frac{a}{a^{2}-1}$
$=\frac{a^{2}-(a-1)(a+1)}{a+1} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a}$
$=\frac{a^{2}-a^{2}+1}{a+1} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a}$
$=\frac{1}{a+1} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a}$
$=\frac{a-1}{a}$.
∵当a=-1,0,1时原分式无意义，
∴a=2.
当a=2时，原式=$\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$.

18. (6分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”. 如$\frac {x+1}{x-1}= \frac {x-1+2}{x-1}= \frac {x-1}{x-1}+\frac {2}{x-1}= 1+\frac {2}{x-1},\frac {2x-3}{x+1}= \frac {2x+2-5}{x+1}= \frac {2x+2}{x+1}+\frac {-5}{x+1}= 2+\frac {-5}{x+1}$,则$\frac {x+1}{x-1}和\frac {2x-3}{x+1}$都是“和谐分式”.
(1)下列分式中,属于“和谐分式”的是①③④.(填序号)
①$\frac {x+1}{x}$；②$\frac {2+x}{2}$；③$\frac {x+2}{x+1}$；④$\frac {y^{2}+1}{y^{2}}$.
(2)将“和谐分式”$\frac {a^{2}-2a+3}{a-1}$化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：$\frac {a^{2}-2a+3}{a-1}= $a-1$+\frac {2}{a-1}$.
(3)应用：先化简$\frac {3x+6}{x+1}-\frac {x-1}{x}÷\frac {x^{2}-1}{x^{2}+2x}$,并求x取什么整数时,该式的值为整数.
原式=$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}=\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}$，∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数. 此时x=0或-2或1或-3.
又∵分式有意义时，x≠0,1,-1,-2，∴x=-3.

答案：
(1)①③④；
(2)a-1；
(3)原式=$\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x+6}{x+1}-\frac{x+2}{x+1}=\frac{2x+4}{x+1}=\frac{2(x+1)+2}{x+1}=2+\frac{2}{x+1}$，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数. 此时x=0或-2或1或-3.
又
∵分式有意义时，x≠0,1,-1,-2，
∴x=-3.

19. (7分)某公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒,已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元,若用400元购买台灯和用160元购买手电筒,则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半.
(1)求购买该品牌的一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
(2)经商谈,商店给予该公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠,如果该公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个,且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元,那么该公司最多可购买多少个该品牌的台灯？

答案：
(1)设购买该品牌的一个手电筒需要x元，则购买该品牌的一个台灯需要(x+20)元.
根据题意，得$\frac{400}{x+20}=\frac{160}{x} × \frac{1}{2}$，
解得x=5.
经检验，x=5是原分式方程的解，
∴x+20=25.
答：购买该品牌的一个台灯需要25元，购买该品牌的一个手电筒需要5元.
(2)设该公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数为(2a+8-a)个.
由题意，得25a+5(2a+8-a)≤670，
解得a≤21.
答：该公司最多可购买21个该品牌的台灯.