《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

例1 如图,在$□ ABCD$中,$AE\perp BC于点E$,延长$BC至点F$,使$CF= BE$,连结$DF$,$AF与DE交于点O$。
(1) 求证：四边形$AEFD$为矩形。
(2) 若$AB= 3$,$OE= 2$,$BF= 5$,求$DF$的长。

【名师指导】①证明矩形的思路有两种,思路一：若已知四边形是平行四边形,则只要再证明一个角是直角,或证明两条对角线相等即可。思路二：若没有平行四边形的条件,则考虑证明三个角是直角,直接得到矩形；或先证明四边形是平行四边形,再按思路一证明即可。②矩形的对角线互相平分且相等是矩形的一个重要性质,常作为等线段的转化求长度。

答案：
(1)证明:
∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC.
∴AD=BC=EF.
又
∵AD//EF,
∴四边形AEFD为平行四边形
∵AE⊥BC,
∴∠AEF=90°.
∴平行四边形AEFD为矩形
(2)解:由
(1)知,四边形AEFD为矩形,
∴DF=AE,AF=DE=2OE=4.
∵AB=3,AF=4,BF=5,
∴AB²+AF²=BF²,
∴△BAF为直角三角形,∠BAF=90°,
∴S△ABF=$\frac{1}{2}$AB·AF=$\frac{1}{2}$BF·AE.
∴AB·AF=BF·AE，即3×4=5AE.
∴AE=$\frac{12}{5}$.
∴DF=AE=$\frac{12}{5}$.

例2 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,过点$D作\angle ADC的角平分线交AB于点E$,连结$AC交DE于点O$,$AD// CE$。
(1) 求证：四边形$AECD$是菱形。
(2) 若$AD= 10$,$\triangle ACD的周长为36$,求菱形$AECD$的面积。

【名师指导】①判定菱形时,先判定这个四边形是平行四边形,再应用对角线垂直或邻边相等等条件来判定四边形是菱形；②以菱形为背景求线段时经常利用四边相等进行等量转化,并利用勾股定理来计算；菱形的对角线互相垂直平分是菱形一个重要性质,对于菱形面积计算题,常转化为求其对角线积的一半。

答案：
(1)证明:
∵AB//CD,AD//CE,
∴四边形AECD是平行四边形.
∴∠CDE=∠AED.
∵DE平分∠ADC,
∴∠CDE=∠ADE.
∴∠AED=∠ADE.
∴AD=AE.
∴平行四边形AECD是菱形
(2)解:由
(1)可知,四边形AECD是菱形,
∴OA=OC,AD=10,OD=OE,AC⊥DE;
∵△ACD的周长为36,
∴AC=36−AD−CD=36−10−10=16.
∴OA=OC=8.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD=$\sqrt{AD²−OA²}$=$\sqrt{10²−8²}$=6.
∴DE=2OD=12.
∴菱形AECD的面积=$\frac{1}{2}$AC·DE=$\frac{1}{2}$×16×12=96.