《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

11. (8分)如图,在矩形ABCD中,E、F为BC边上两点,且$BE= CF$,连结AF、DE交于点O.
求证:(1)$\triangle ABF≌\triangle DCE$.
(2)$\triangle AOD$是等腰三角形.

答案： 证明：
(1)在矩形 $ABCD$ 中，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，$AB = DC$。$\because BE=CF$，$BF = BC - FC$，$CE = BC - BE$，$\therefore BF = CE$。在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = DC,\\\angle B=\angle C,\\BF = CE,\end{array}\right.$$\therefore\triangle ABF\cong\triangle DCE(S.A.S.)$。
(2)$\because\triangle ABF\cong\triangle DCE$，$\therefore\angle BAF=\angle EDC$。$\because\angle DAF = 90^{\circ}-\angle BAF$，$\angle EDA = 90^{\circ}-\angle EDC$，$\therefore\angle DAF=\angle EDA$。$\therefore\triangle AOD$是等腰三角形。

12. (8分)如图,在菱形ABCD中,点F是BC上任意一点,连结AF交对角线BD于点E,连结EC.
(1)求证:$AE= EC$.
(2)当$∠ABC= 60^{\circ}$,$∠CEF= 60^{\circ}$时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.

答案：

(1)证明：如图，连结 $AC$，$\because BD$是菱形 $ABCD$ 的对角线，$\therefore BD$垂直平分 $AC$。$\therefore AE = EC$。
(2)解：点 $F$ 在线段 $BC$ 的中点上。理由如下：在菱形 $ABCD$ 中，$AB = BC$。$\because\angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore\triangle ABC$是等边三角形。$\therefore\angle BAC = 60^{\circ}$。$\because AE = EC$，$\angle CEF = 60^{\circ}$，$\therefore\angle EAC=\angle ECA=\frac{1}{2}\angle CEF = 30^{\circ}$。$\therefore AF$是$\triangle ABC$的角平分线。$\because AF$交 $BC$ 于点 $F$，$\therefore AF$是$\triangle ABC$的 $BC$ 边上的中线。$\therefore$点 $F$ 是线段 $BC$ 的中点。

13. (10分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点A作$AF⊥CD$,垂足为F,延长DC到点E,使$CE= DF$,连结BE.
(1)求证:四边形ABEF是矩形.
(2)若$AB= 5$,$CF= 2$,$AC⊥BD$,连结OE,求BD的长.

答案：
(1)证明：$\because$四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AB// CD$，$AB = CD$。$\because CE = DF$，$\therefore CE + CF = DF + CF$，即 $EF = CD$。$\therefore AB = EF$。$\therefore$四边形 $ABEF$ 是平行四边形。又$\because AF\perp CD$，$\therefore\angle AFE = 90^{\circ}$。$\therefore$平行四边形 $ABEF$ 是矩形。
(2)解：$\because$四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AC\perp BD$，$\therefore OB = OD$，平行四边形 $ABCD$ 是菱形。$\therefore AD = CD = AB = 5$。$\therefore DF = CD - CF = 5 - 2 = 3$。$\because AF\perp CD$，$\therefore\angle AFD = 90^{\circ}$。$\therefore AF=\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。由
(1)得：四边形 $ABEF$ 是矩形，$\therefore\angle BEF = 90^{\circ}$，$BE = AF = 4$。$\because CE = DF = 3$，$\therefore DE = CD + CE = 8$。$\therefore BD=\sqrt{DE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{80}$。

14. (10分)如图,已知四边形ABCD为正方形,$AB= \sqrt{2}$,点E为对角线AC上一动点,连结DE,过点E作$EF⊥DE$,与BC相交于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连结CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形.
(2)探究:四边形CEDG的面积是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

答案：

(1)证明：如图，过点 $E$ 作 $EM\perp BC$ 于 $M$ 点，过点 $E$ 作 $EN\perp CD$ 于 $N$ 点。$\because$四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore\angle BCD = 90^{\circ}$。$\because EM\perp BC$，$EN\perp CD$，$\therefore\angle EMF=\angle ENC=\angle END = 90^{\circ}$。$\therefore\angle MEN = 90^{\circ}$。$\because$四边形 $DEFG$ 为矩形，$\therefore\angle FED = 90^{\circ}$。$\therefore\angle MEN-\angle FEN=\angle FED-\angle FEN$，即$\angle MEF=\angle NED$。$\because E$是正方形 $ABCD$ 对角线上的点，$\therefore EN = EM$。在$\triangle DEN$和$\triangle FEM$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle END=\angle EMF,\\EN = EM,\\\angle NED=\angle MEF,\end{array}\right.$$\therefore\triangle DEN\cong\triangle FEM(A.S.A.)$。$\therefore ED = EF$。$\therefore$矩形 $DEFG$ 为正方形。
(2)解：四边形 $CEDG$ 的面积为定值。$\because$矩形 $DEFG$ 为正方形，$\therefore DE = DG$，$\angle EDC+\angle CDG = 90^{\circ}$。$\because$四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore AD = DC$，$\angle ADE+\angle EDC = 90^{\circ}$。$\therefore\angle ADE=\angle CDG$。在$\triangle ADE$和$\triangle CDG$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = CD,\\\angle ADE=\angle CDG,\\DE = DG,\end{array}\right.$$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CDG(S.A.S.)$。$\therefore S_{四边形CEDG}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle CDG}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle ADE}=S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$。$\therefore$四边形 $CEDG$ 的面积为定值 $1$。