《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

11. 如图,在$□ ABCD$中,DF平分$∠ADC$,交AB于点F,$BE// DF$,交AD的延长线于点E。若$∠A= 40^{\circ }$,求$∠ABE$的度数。

答案： 解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD.
∴∠CDF = ∠AFD,∠A + ∠ADC = 180°.
∵∠A = 40°,
∴∠ADC = 140°.
∵DF平分∠ADC,
∴∠CDF = $\frac{1}{2}$∠ADC = 70°.
∴∠AFD = 70°.
∵BE//DF,
∴∠ABE = ∠AFD = 70°.

12. 如图,在$□ ABCD$中,点G是CD上一点,BG交AD延长线于点E,$AF= CG$,$∠DGE= 100^{\circ }$。
(1)求证：$DF= BG$。
(2)求$∠AFD$的度数。

答案：
(1)证明:
∵在▱ABCD中,$AB\equalparallel CD$,AF = CG,
∴$BF\equalparallel DG$.
∴四边形DFBG为平行四边形.
∴DF = BG.
(2)解:
∵∠DGE = 100°,
∴∠DGB = 180°−100° = 80°.
∵在▱DFBG中,有∠DGB = ∠DFB,
∴∠DFB = 80°.
∴∠AFD = 180°−∠DFB = 100°.

13. 如图,点O为四边形ABCD的对角线BD的中点,过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线MN上,且$OE= OF$,$AE// CF$,$AE= CF$。求证：四边形ABCD是平行四边形。

答案：
证明:如图,连结BE、DF、ED、BF.
∵BO = DO,EO = FO,
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴EB//DF,EB = DF,DE = BF,DE//BF.
∴∠2 = ∠1.
∵AE//CF,
∴∠AEF = ∠CFE.
∴∠AEF + ∠1 = ∠CFE + ∠2,即∠AEB = ∠CFD.
在△AEB和△CFD中,
$\begin{cases}AE = CF,\\∠AEB = ∠CFD,\\EB = FD,\end{cases}$
∴△AEB≌△CFD(S.A.S.).
∴AB = CD.
∵ED//BF,
∴∠DEF = ∠BFE.
∴∠AEF - ∠DEF = ∠CFE - ∠BFE,即∠3 = ∠4.
在△AED和△CFB中,
$\begin{cases}AE = CF,\\∠3 = ∠4,\\ED = FB,\end{cases}$
∴△AED≌△CFB(S.A.S.).
∴AD = BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.

14. 如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,点E、F分别在AD、BC上,$AE= CF$,过点A、C分别作EF的垂线,垂足分别为点G、H。
(1)求证：$\triangle AGE\cong \triangle CHF$。
(2)连结AC交EF于点M,求证：AC与EF互相平分。

答案：

(1)证明:
∵AG⊥EF,CH⊥EF,
∴∠G = ∠H = 90°.
∴AG//CH.
∵AD//BC,
∴∠DEF = ∠BFE.
∵∠AEG = ∠DEF,∠CFH = ∠BFE,
∴∠AEG = ∠CFH.
在△AGE和△CHF中,
$\begin{cases}∠G = ∠H,\\∠AEG = ∠CFH,\\AE = CF,\end{cases}$
∴△AGE≌△CHF(A.A.S.).
(2)如图,连结AH、CG.
由
(1)得,△AGE≌△CHF,
∴AG = CH,GE = HF.
∵AG//CH,
∴四边形AHCG是平行四边形.
∴GM = HM,AM = CM.
∴GM - GE = HM - FH,即EM = FM.
∴AC与EF互相平分.