《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

10. 在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,$D是斜边AB$上的一点, 作$DE⊥BC$, 垂足为$E$, 延长到$DE到F$, 连结$CF$, 使$∠A= ∠F$.
(1) 求证: 四边形$ADFC$是平行四边形.
(2) 连结$CD$, 若$CD平分∠ADE$,$CF= 10$,$CD= 12$, 求四边形$ADFC$的面积.

答案：
(1)证明:
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC.
∵DE⊥BC，延长DE到F，
∴AC//DF.
∴∠A=∠BDF.
∵∠A=∠F，
∴∠BDF=∠F.
∴CF//AB.
又
∵AC//DF，
∴四边形ADFC是平行四边形.
(2)解:
∵CD平分∠ADE，
∴∠ADC=∠FDC.
在△ADC和△FDC中，$\begin{cases}∠A=∠F \\ ∠ADC=∠FDC \\ CD=CD\end{cases}$，
∴△ADC≌△FDC(A.S.A.).
∴AD=DF.
由
(1)得，四边形ADFC是平行四边形，
∴S_{四边形ADFC}=2S_{△CDF}，AD=CF=DF=10.
设EF=x，则DE=10−x，
在Rt△CED中，由勾股定理，得CE²=CD²−DE²，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE²=CF²−EF²，
∴12²−(10−x)²=10²−x²，解得x=$\frac{14}{5}$.
∴CE=$\sqrt{CF² - EF²}$=$\sqrt{10² - (\frac{14}{5})²}$=$\frac{48}{5}$.
∴S_{四边形ADFC}=2S_{△CDF}=2×$\frac{1}{2}$DF·CE=2×$\frac{1}{2}$×10×$\frac{48}{5}$=96.

11. 对一张矩形纸片$ABCD$进行折叠, 具体操作如下:
第一步: 先对折, 使$AD与BC$重合, 得到折痕$MN$, 展开;
第二步: 再一次折叠, 使点$A落在MN的点A'$处, 并使折痕经过点$B$, 得到折痕$BE$, 同时, 得到线段$BA'$、$EA'$, 展开, 如图①;
第三步: 再沿$EA'$所在的直线折叠, 点$B落在AD上的点B'$处, 得到折痕$EF$, 同时得到线段$B'F$, 展开, 如图②.
(1) 求证: $∠ABE= 30^{\circ}$.
(2) 求证: 四边形$BFB'E$为菱形.

答案： 证明:
(1)
∵对折使AD与BC重合，折痕是MN，
∴M是AB的中点.
∴A'是EF的中点.
∵∠BA'E=∠A=90°，
∴BA'垂直平分EF.
∴BE=BF.
∴∠A'BE=∠A'BF.由翻折的性质可知∠ABE=∠A'BE,
∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF.
∴∠ABE=$\frac{1}{3}$∠ABC=30°.
(2)
∵沿EA'所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，
∴BE=B'E，BF=B'F.
∵BE=BF，
∴BE=B'E=B'F=BF.
∴四边形BFB'E为菱形.