《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

4. 如图,菱形$ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E$,交$AC于点F$,连结$DF$。当$\angle CDA= 80^{\circ}$时,$\angle CDF= $B
A.$15^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

答案： B

5. 如图,在正方形$ABCD$中,点$E$、点$F分别是对角线BD$、$AC$上的点,连结$CE$、$EF$、$DF$,若$EF// BC$,且$\angle CEF= 20^{\circ}$,则$\angle EDF$的度数为(B)
A.$22.5^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： B

6. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在BC$上,$DE// AC$,$DF// AB$,以下有四个判断：
①四边形$AEDF$是平行四边形；②若$\angle BAC= 90^{\circ}$,则四边形$AEDF$是矩形；③若$AD\perp BC且AB= AC$,则四边形$AEDF$是菱形；④若$AD平分\angle BAC$,则四边形$AEDF$是矩形。其中判断正确的是①②③。(填序号)

答案： ①②③

7. 如图,矩形$ABCD的对角线交于点O$,点$E$是矩形外一点,$CE// BD$,$BE// AC$,$\angle ABD= 30^{\circ}$,连结$AE交BD于点F$,连结$CF$。则$\angle OCF= $30$^{\circ}$。

答案： 30

8. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,以斜边$AB为边向外作正方形ABDE$,且对角线交于点$O$,连结$OC$。若$AC= 3$,$OC= \sqrt{32}$,则$\angle CAO与\angle CBO$的和为45度；且另一条直角边$BC$的长为5。

答案： 1805

9. 如图,在平面直角坐标系中,有点$A(3,0)$、点$B(3,5)$,射线$AO上的动点C$,$y轴上的动点D$,平面上的一个动点$E$,若$\angle CBA= \angle CBD$,以点$B$、$C$、$D$、$E$为顶点的四边形是矩形,则$AC$的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{3}$或15。

答案： $\frac{3}{2}$或$\frac{5}{3}$或15

10. 如图,在平行四边形$ABCD$中,过点$D作DE\perp AB于点E$,点$F在CD$边上,$DF= BE$,连结$AF$、$BF$。
(1) 求证：四边形$BFDE$是矩形。
(2) 若$AF平分\angle DAB$,$CF= 3$,$DF= 5$,求四边形$BFDE$的面积。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF//EB.
又
∵DF=EB,
∴四边形BFDE是平行四边形
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∴四边形BFDE是矩形.
(2)解:
∵AF平分∠DAB,DC//AB,
∴∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB.
∴∠DAF=∠DFA.
∴AD=DF=5.
∵AB=CD,DF=BE,
∴AE=CF=3.
∴DE=$\sqrt{AD²−AE²}$=4.
∴矩形BFDE的面积是DF·DE=5×4=20.

11. 如图,菱形$ABCD的边长为2$,对角线$BD= 2$,$E$、$F分别是AD$、$CD$上的两个动点,且满足$AE+CF= 2$。
(1) 求证：$\triangle BDE\cong\triangle BCF$。
(2) 判断$\triangle BEF$的形状,并说明理由。同时指出$\triangle BCF是由\triangle BDE$经过如何变换得到？

答案：
(1)证明:
∵菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2,
∴AB=AD=BD=2,BC=CD=BD=2.
∴△ABD与△BCD都是等边三角形.
∴∠BDE=∠C=60°.
∵AE+CF=2,AE+DE=AD=2,
∴DE=CF.在△BDE和△BCF中,$\begin{cases}DE = CF\\∠BDE = ∠C = 60^{\circ}\\BD = BC\end{cases}$
∴△BDE≌△BCF(S.A.S.).
(2)解:△BEF是等边三角形.理由如下:由
(1)可知△BDE≌△BCF,
∴BE=BF,∠DBE=∠CBF.
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°.
∴△BEF是等边三角形.由图可知，△BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到△BCF.