《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

例1 关于x的方程$\frac {ax+1}{x-2}= -1$的解是正数,则a的取值范围是$ a ＞ -1 $且$ a \neq -\frac{1}{2} $.

答案： $ a ＞ -1 $且$ a \neq -\frac{1}{2} $

例2 解方程：$\frac {1}{x(x+1)}+\frac {1}{(x+1)(x+2)}+... +\frac {1}{(x+9)(x+10)}= \frac {1}{x+10}$.
【名师指导】解分式方程的一般步骤：(1)在方程两边同乘最简公分母,化分式方程为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)检验. 可代入分式方程检验,也可代入最简公分母检验. 但是有一些方程如果运用分式方程的一般解法来解非常困难,甚至无法解出. 这时我们可结合分式的性质先化简方程左右两边的分式,再按照一般步骤解分式方程. 不管运用什么方法解出的分式方程的根仍要检验是否是增根.

答案： 解:原方程可转化为$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} + \cdots + \frac{1}{x + 9} - \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{x + 10} $，整理，得$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{x + 10} $，去分母，得$ x + 10 - x = x $，解得$ x = 10 $，经检验，$ x = 10 $是原方程的根。

例3 某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,施工一天,需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元. 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,有如下方案：
(1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
(3)若甲、乙两队合作3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
试问在不耽误工期的前提下,你觉得哪种施工方案最节省工程款？请说明理由.
【名师指导】在现实生活中,经常遇到抉择方案的问题. 分式方程作为一种数学工具在分析解决众多实际问题中发挥了重要的作用,但在解决实际问题的过程中经常会出现解题结果与实际问题不符的情况. 因此,我们在运用分式方程解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否正确,还要检验方程的解是否符合问题的实际意义. 有些问题有多种解决办法时,我们通常要找到解决问题的最佳方案,即省时、省力、省钱,对商家来说就是追求利益的最大化.

答案： 解:设规定日期为$ x $天，根据题意，得$ \frac{3}{x} + \frac{x}{x + 6} = 1 $，解得$ x = 6 $，经检验$ x = 6 $是方程的根，且符合题意. 方案
(1)需付工程款$ 1.2 × 6 = 7.2 $（万元），方案
(2)耽误了工期，不符合要求，方案
(3)需付工程款$ 1.2 × 3 + 0.5 × 6 = 6.6 $（万元）. $ \because 7.2 ＞ 6.6 $，$ \therefore $在不耽误工期的前提下，方案
(3)最节省工程款。