《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

9. 如图, 一次函数$y= \frac {1}{2}x+b与反比例函数y= \frac {k}{x}(x＜0)的图象交于点A(-6,a)$、$B(-2,3)$,$AC⊥x轴于点C$,$BD⊥y轴于点D$.
(1) 填空:$a= $1,$b= $4,$k= $-6.
(2) 观察图象, 直接写出第二象限内, 反比例函数的值大于一次函数的值时$x$的取值范围.-8＜x＜-6或-2＜x＜0
(3) 点$E在线段AB$上, 连结$CE$、$DE$, 若$S_{\triangle ACE}= S_{\triangle BDE}$, 求点$E$的坐标.(-4,2)

答案： 解:
(1)
∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x + b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＜0)的图象交于点A(−6,a)、B(−2,3),
∴3=$\frac{1}{2}$×(−2)+b，−2×3=−6=−6a=k.
∴b=4,a=1,k=−6.故答案为:1;4;−6.
(2)当y=$\frac{1}{2}$x + 4=0时，x=−8,
∴一次函数与x轴交于点(−8,0).
由图可知,当−8＜x＜−6或−2＜x＜0时,双曲线在直线的上方,
∴在第二象限内，反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是−8＜x＜−6或−2＜x＜0.
(3)
∵AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D,
∴C(−6,0),D(0,3).
∴AC=1,BD=2.
∵E是线段AB上的一点，设E(t，$\frac{1}{2}$t + 4),
则S_{△ACE}=$\frac{1}{2}$·AC+(x_E - x_C)=$\frac{1}{2}$×1·(t + 6)=$\frac{t}{2}$+3,
S_{△BDE}=$\frac{1}{2}$·BD·(y_B - y_E)=$\frac{1}{2}$×2·(3 - $\frac{1}{2}$t - 4)= -$\frac{1}{2}$t - 1,
∴$\frac{t}{2}$+3= -$\frac{t}{2}$-1.
∴t = -4.
∴E(−4,2).

10. 如图, 已知正比例函数图象经过点$A(2,2)$、$B(m,3)$.
(1) 求正比例函数的表达式及$m$的值.
(2) 分别过点$A与点B作y$轴的平行线, 与反比例函数在第一象限的分支分别交于点$C$、$D$(点$C$、$D均在点A$、$B$下方), 若$BD= 4AC$, 求反比例函数的表达式.
(3) 在第(2)小题的前提下, 连结$AD$, 试判断$\triangle ABD$的形状, 并说明理由.

答案： 解:
(1)设正比例函数的表达式为y=kx(k≠0),
∵正比例函数图象经过点A(2,2),
∴2=2k.
∴k=1.
∴正比例函数的表达式为y=x.
把B(m,3)代入表达式得,m=3.
(2)
∵AC//BD//y轴,
∴C点的横坐标为2,D点的横坐标为3.
设反比例函数的表达式为y=$\frac{m}{x}$,分别代入得y_C=$\frac{m}{2}$,y_D=$\frac{m}{3}$,
∴AC=2−$\frac{m}{2}$,BD=3−$\frac{m}{3}$.
∵BD=4AC,
∴3−$\frac{m}{3}$=4(2−$\frac{m}{2}$).
解得m=3.
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{3}{x}$.
(3)△ABD是等腰直角三角形.
理由如下:由
(2)得D(3,1),A(2,2),B(3,3),
∴AB²=(3−2)²+(3−2)²=2,AD²=(3−2)²+(1−2)²=2,
BD²=(3−3)²+(3−1)²=4.
∴BD²=AB²+AD²,且AB=AD.
∴△ABD是等腰直角三角形.