《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为：一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间。设规定时间为x天,则可列出正确的方程为(B)
A.$\frac {900}{x+3}= 2×\frac {900}{x-1}$
B.$\frac {900}{x-3}= 2×\frac {900}{x+1}$
C.$\frac {900}{x-1}= 2×\frac {900}{x+3}$
D.$\frac {900}{x+1}= 2×\frac {900}{x-3}$

答案： B

例1 如果分式$\frac {x^{2}-1}{2x+2}$的值为0,则x的值是(A)
A.1
B.0
C.-1
D.±1

答案： A

变式题1 若分式$\frac {|x|-3}{x+3}$的值为零,则x的值为(A)
A.3
B.-3
C.±3
D.任意实数

答案： A

例2 化简：$(\frac {x-3}{x^{2}-9}-\frac {1}{x+2})÷\frac {x^{2}-4}{x^{2}+4x+4}$。
【易错警示】在进行分式运算时,有些同学易忽略分数线的括号作用而导致计算错误；也有些同学看到题目后急于约分忽略了运算顺序而导致错误。

答案： 解:原式 $ = \left[ \frac{x - 3}{(x + 3)(x - 3)} - \frac{1}{x + 2} \right] ÷ \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^{2}} $
$ = \left( \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 2} \right) \cdot \frac{(x + 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)} $
$ = \frac{x + 2 - x - 3}{(x + 3)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)} $
$ = - \frac{1}{x^{2} + x - 6} $。

变式题2 计算：$\frac {a-b}{a}÷(a-\frac {2ab-b^{2}}{a})$。

答案： 解:原式 $ = \frac{a - b}{a} ÷ \frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{a} = \frac{a - b}{a} \cdot \frac{a}{(a - b)^{2}} = \frac{1}{a - b} $。

例3 若关于x的分式方程$\frac {x}{x-1}= \frac {3a}{2x-2}-2$有非负数解,则a的取值范围是$ a \geq - \frac{4}{3} $ 且 $ a \neq \frac{2}{3} $。
【易错警示】利用方程根的情况确定分式方程中参数(字母系数)的取值范围时,由于分式方程是先化成整式方程求解的,并且在去分母化简的过程中容易扩大解的范围,所以求出的参数的取值范围易出错。

答案： $ a \geq - \frac{4}{3} $ 且 $ a \neq \frac{2}{3} $

变式题3 若关于x的方程$\frac {ax}{x-2}= \frac {4}{x-2}+1$无解,则a的值是1 或 2。

答案： 1 或 2