《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

10. 已知直线$y = ax(a \neq 0)与双曲线y = \frac{k}{x}(k \neq 0)的一个交点的坐标为(2,-6)$,则它们的另一个交点的坐标是$(-2,6)$.

答案： $(-2,6)$

11. 如图,三个正比例函数的图象分别对应表达式：①$y = ax$；②$y = bx$；③$y = cx$,将a、b、c从小到大排列并用“＜”连接为$a ＜ c ＜ b$.

答案： $a ＜ c ＜ b$

12. 如图,一次函数$y = 2x$和$y = ax + 4(a \neq 0)$的图象相交于点$A(m,3)$,则关于$x$的方程$2x = ax + 4$的解是$x=\frac{3}{2}$.

答案： $x=\frac{3}{2}$

13. (10分)已知一次函数$y = kx + b的图象经过(1,2)$、$(3,-4)$两点且与y轴交于A点.
(1)求函数表达式及点A的坐标.
(2)当$x ＜ 1$时,对于x的每一个值,函数$y = mx的值都小于函数y = kx + b$的值,求m的取值范围.

答案： 解：
(1) 把$(1,2)$、$(3,-4)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}k + b = 2,\\3k + b = -4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -3,\\b = 5,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为$y = -3x + 5$。当$x = 0$时，$y = -3x + 5 = 5$，$\therefore$ A点的坐标为$(0,5)$。
(2) $\because x ＜ 1$时，对于$x$的每一个值，函数$y = mx$的值都小于函数$y = -3x + 5$的值，$\therefore$ 当$m \geq 0$，$x = 1$时，$m \leq -3 + 5$，即$0 \leq m \leq 2$。当$m ＜ 0$时，函数$y = mx$的图象与$y = -3x + 5$的图象平行或交点在第四象限，则$-3 \leq m ＜ 0$，$\therefore m$的取值范围为$-3 \leq m \leq 2$。

14. (10分)设函数$y_1 = \frac{k}{x},y_2 = - \frac{k}{x}(k ＞ 0)$.
(1)当$1 \leq x \leq 2$时,函数$y_1$的最大值是a,函数$y_2的最小值是a - 2$,求a和k的值.
(2)设$m \neq 0且m \neq 1$,当$x = m$时,$y_2 = p$；当$x = m - 1$时,$y_2 = q$. 芳芳说：“p一定大于q.”你认为芳芳的说法正确吗？为什么？

答案： 解：
(1) $\because k ＞ 0$，$1 \leq x \leq 2$，$\therefore y_1$随$x$的增大而减小，$y_2$随$x$的增大而增大。$\therefore$ 当$x = 1$时，$y_1$的最大值为$k = a$①；$y_2$的最小值为$-k = a - 2$②。由①，②得$a = 1$，$k = 1$。
(2) 芳芳的说法不正确。理由如下：设$m = m_0$，且$0 ＜ m_0 ＜ 1$，则$\frac{k}{m_0} ＞ 0$，$m_0 - 1 ＜ 0$，$\therefore$ 当$x = m_0$时，$p = y_2 = -\frac{k}{m_0} ＜ 0$；当$x = m_0 - 1$时，$q = y_2 = -\frac{k}{m_0 - 1} ＞ 0$。$\therefore q ＞ 0 ＞ p$。$\therefore$ 芳芳的说法不正确。

15. (12分)某商场代理销售每台进价分别为600元、560元的A、B两种型号的空气净化器,如表是近两周的销售情况：(进价、售价均保持不变,利润= 销售收入-进货成本)
＜table＞＜tbody＞＜tr＞＜td rowspan= "2"＞销售时段＜/td＞＜td colspan= "2"＞销售数量＜/td＞＜td rowspan= "2"＞销售收入(元)＜/td＞＜/tr＞＜tr＞＜td＞A种型号(台)＜/td＞＜td＞B种型号(台)＜/td＞＜/tr＞＜tr＞＜td＞第一周＜/td＞＜td＞3＜/td＞＜td＞2＜/td＞＜td＞3960＜/td＞＜/tr＞＜tr＞＜td＞第二周＜/td＞＜td＞5＜/td＞＜td＞4＜/td＞＜td＞7120＜/td＞＜/tr＞＜/tbody＞＜/table＞
(1)求A、B两种型号的空气净化器的销售单价.
(2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共30台,其中B型净化器的进货量不超过A型的2倍. 设购进A型空气净化器x台,这30台空气净化器的销售总利润为y元.
①请写出y关于x的函数关系式.
②该商场购进A型、B型净化器各多少台,才能使销售总利润最大？

答案： 解：
(1) 设$A$、$B$两种型号的空气净化器的销售单价分别$x$、$y$元，根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 3960,\\5x + 4y = 7120,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 800,\\y = 780.\end{cases}$答：$A$、$B$两种型号的空气净化器的销售单价分别为800元、780元。
(2) ①根据题意，$A$种型号的空气净化器销售利润为每台200元，共$200x$元，$B$种型号的空气净化器销售利润为每台220元，共$220(30 - x)$元，所以30台空气净化器的总利润$y = 200x + 220(30 - x)$，即$y = -20x + 6600$。②由题意得$30 - x \leq 2x$，解得$x \geq 10$。$\because y = -20x + 6600$中，$-20 ＜ 0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小。$\therefore$ 当$x = 10$时，$y$取得最大值，此时$30 - x = 20$。答：该商场购进$A$型净化器10台、$B$型净化器20台，才能使销售总利润最大。