《2025年畅响假期衔接优化作业八年级数学华师大版》

12. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,过点$C的直线MN// AB$,点$D为AB$边上一点,过点$D作DE\perp BC$,交直线$MN于点E$,垂足为点$F$,连结$CD$、$BE$。
(1) 求证：$CE= AD$。
(2) 当点$D为AB$的中点时,四边形$BECD$是什么特殊四边形？说明你的理由。
(3) 若点$D为AB$的中点,则当$\angle A$的大小满足什么条件时,四边形$BECD$是正方形？说明你的理由。

答案：
(1)证明:
∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB.
∴AC//DE.
又
∵MN//AB,即CE//AD.
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE=AD.
(2)解:四边形BECD是菱形.理由:
∵D为AB的中点，
∴AD=BD.
∵CE=AD,
∴BD=CE.又
∵BD//CE,
∴四边形BECD是平行四边形.又
∵DE⊥BC,
∴四边形BECD是菱形
(3)解:当∠A=45°时,四边形BECD是正方形
理由:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°.
∴AC=BC.
∵D为AB的中点,
∴CD⊥AB.
∴∠CDB=90°.
∵四边形BECD是菱形,
∴四边形BECD是正方形

13. 如图,正方形$ABCD$中,动点$E在AC$上,$AF\perp AC$,垂足为$A$,$AF= AE$,连结$BF$。
(1) 求证：$BF= DE$。
(2) 当点$E运动到AC$中点时(其他条件不变),四边形$AFBE$是正方形吗？请说明理由。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC,∠BAD=90°.
∵AF⊥AC,
∴∠EAF=90°.
∴∠BAF=∠DAE.
在△ADE和△ABF中,$\begin{cases}AD = AB\\∠DAE = ∠BAF\\AE = AF\end{cases}$
∴△ADE≌△ABF(S.A.S.).
∴BF=DE;
(2)解:当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形
理由:
∵点E运动到AC的中点,AB=BC,
∴BE⊥AC,BE=AE=$\frac{1}{2}$AC.
∵AF=AE,
∴BE=AF=AE.
又
∵BE⊥AC,
∴∠FAE=∠BEC=90°.
∴BE//AF;
∵BE=AF,
∴四边形AFBE是平行四边形
∵∠FAE=90°,AF=AE,
∴四边形AFBE是正方形

14. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AC= BC$,$D是AB$中点,$P是AB$上一动点(与$A$、$B$不重合),过$P作PF\perp AC于F$,作$PE\perp BC于E$。
(1) 连结$DE$、$DF$,求证：$DE= DF$。
(2) 连结$EF$,若$AB= 2$,当$P$运动到______位置时,线段$EF$的长度最小,其最小值等于______。

(1)证明:如图,连结CD,∵Rt△ABC中,AC=BC,D是AB中点,∴∠ACB=90°,∠A=∠B=45°,∠DCE=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.∴CD=BD=AD=$\frac{1}{2}$AB.∵PF⊥AC,PE⊥BC,∴∠PFA=∠PFC=∠PEC=90°.∴四边形PECF是矩形.∴PF=CE.∵∠A=45°,∠PFA=90°,∴△APF是等腰直角三角形.∴AF=PF.∴CE=AF.在△CDE和△ADF中,$\begin{cases}CD = AD\\∠DCE = ∠A = 45^{\circ}\\CE = AF\end{cases}$∴△CDE≌△ADF(S.A.S.).∴DE=DF.
(2)点D1

答案：
(1)证明:如图,连结CD,
∵Rt△ABC中,AC=BC,D是AB中点,
∴∠ACB=90°,∠A=∠B=45°,∠DCE=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.
∴CD=BD=AD=$\frac{1}{2}$AB.
∵PF⊥AC,PE⊥BC,
∴∠PFA=∠PFC=∠PEC=90°.
∴四边形PECF是矩形.
∴PF=CE.
∵∠A=45°,∠PFA=90°,
∴△APF是等腰直角三角形.
∴AF=PF.
∴CE=AF.
在△CDE和△ADF中,$\begin{cases}CD = AD\\∠DCE = ∠A = 45^{\circ}\\CE = AF\end{cases}$
∴△CDE≌△ADF(S.A.S.).
∴DE=DF.
(2)解:如图,连结CP,由
(1)可知,四边形PECF是矩形,
∴EF=CP.当CP⊥AB时,CP最小,EF也最小,此时P与D重合,CP=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=1.故答案为:点D;1.