《2025年快乐暑假天天练七年级综合河南专版》

1. 若关于$x的方程ax + 3x = 2的解是x= \frac{1}{4}$,则$a$的值是(B)
A.$-1$
B.$5$
C.$1$
D.$-5$

答案： 【解析】：
将$x = \frac{1}{4}$代入方程$ax + 3x = 2$中，我们得到：
$a × \frac{1}{4} + 3 × \frac{1}{4} = 2$
$\frac{a}{4} + \frac{3}{4} = 2$
两边同时乘以4，得到：
$a + 3 = 8$
从上式我们可以解出：
$a = 5$
【答案】：B

2. 不等式组$\begin{cases}x\leqslant1,\\x＞-2\end{cases} $的解集在数轴上表示正确的是(C)

答案： 【解析】：解不等式组$\begin{cases}x\leqslant1 \\x＞-2\end{cases}$，可得其解集为$-2 ＜ x \leqslant 1$。在数轴上表示时，$-2$处用空心圆圈（因为不包含$-2$），$1$处用实心圆点（因为包含$1$），且方向从$-2$向右到$1$。观察各选项，选项C符合要求。
【答案】：C

3. 下列图形中对称轴条数最多的是(C)

答案： 【解析】：对称轴是指使图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的直线。
选项A：两个相交的圆组成的图形，其对称轴是两圆圆心连线所在的直线以及两圆交点连线所在的直线，共2条对称轴。
选项B：该图形由四个花瓣状图形组成，呈十字对称，水平和竖直方向各有1条对称轴，两条对角线方向也各有1条对称轴，共4条对称轴。
选项C：同心圆，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，所以有无数条对称轴。
选项D：风车形状的图形，是中心对称图形，但不是轴对称图形，没有对称轴。
综上，对称轴条数最多的是选项C。
【答案】：C

4. 若不等式组$\begin{cases}x＞2,\\x＞m\end{cases} 的解集是x＞2$,则$m$的取值范围是(A)
A.$m\leqslant2$
B.$m\geqslant2$
C.$m\leqslant1$
D.$m＞1$

答案： 【解析】：
对于不等式组
$\begin{cases}x＞2,\\x＞m\end{cases}$
我们需要确定$m$的取值范围，使得该不等式组的解集为$x＞2$。
首先，我们考虑两个不等式的交集。
第一个不等式给出$x＞2$，第二个不等式给出$x＞m$。
为了使不等式组的解集为$x＞2$，我们需要确保$x＞2$是这两个不等式的共同解集。
如果$m ＞ 2$，那么不等式组的解集将是$x ＞ m$，这与题目给定的解集$x＞2$不符。
如果$m = 2$，那么不等式组变为
$\begin{cases}x＞2,\\x＞2\end{cases}$
其解集仍为$x＞2$，符合题意。
如果$m ＜ 2$，那么不等式组的解集仍然是$x＞2$，因为$x＞2$已经包含了$x＞m$的所有解。
综上所述，我们得出$m\leqslant2$。
【答案】：A

5. 如图,$\angle ABC和\angle ACB的外角平分线相交于点D$,如果$\angle BDC= \alpha$,那么$\angle A$等于(D)

A.$90-\alpha$
B.$90-\frac{1}{2}\alpha$
C.$180-\frac{1}{2}\alpha$
D.$180-2\alpha$

答案： 【解析】：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角分别为∠EBC和∠FCB。因为BD、CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，所以∠DBC = 1/2∠EBC，∠DCB = 1/2∠FCB。
根据三角形内角和定理，∠EBC = 180° - ∠ABC，∠FCB = 180° - ∠ACB。因此：
∠DBC + ∠DCB = 1/2(∠EBC + ∠FCB) = 1/2[(180° - ∠ABC) + (180° - ∠ACB)] = 1/2[360° - (∠ABC + ∠ACB)]。
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，代入上式得：
∠DBC + ∠DCB = 1/2[360° - (180° - ∠A)] = 1/2(180° + ∠A) = 90° + 1/2∠A。
在△BDC中，∠BDC = α，根据三角形内角和定理：
∠DBC + ∠DCB + ∠BDC = 180°，即90° + 1/2∠A + α = 180°。
解得：1/2∠A = 90° - α，所以∠A = 180° - 2α。
【答案】：D

6. 小明从家里骑自行车到学校,每小时骑$15\mathrm{km}$,可早到$10$分钟,每小时骑$12\mathrm{km}就会迟到5$分钟。问他家到学校的路程是多少$\mathrm{km}$。设他家到学校的路程是$x\mathrm{km}$,据题意列出的方程是(A)
A.$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}= \frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
B.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}= \frac{x}{12}+\frac{5}{60}$
C.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}= \frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
D.$\frac{x}{15}+10= \frac{x}{12}-5$

答案： 【解析】：设他家到学校的路程是$x$千米，10分钟=$\frac{10}{60}$小时，5分钟=$\frac{5}{60}$小时。
当速度为每小时15千米时，所用时间为$\frac{x}{15}$小时，此时早到10分钟，那么规定时间为$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$小时；
当速度为每小时12千米时，所用时间为$\frac{x}{12}$小时，此时迟到5分钟，那么规定时间为$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$小时。
因为规定时间是固定的，所以可列方程：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$。
【答案】：A

7. 已知$x = - 3是方程(2m + 1)x - 3 = 0$的解,则$m= $-1。

答案： 【解析】：已知$x = - 3$是方程$(2m + 1)x - 3 = 0$的解，将$x=-3$代入方程可得：$(2m + 1)×(-3)-3 = 0$。
首先计算左边的式子：$-3(2m + 1)-3 = 0$，去括号得$-6m - 3 - 3 = 0$，合并同类项得$-6m - 6 = 0$。
然后移项可得$-6m = 6$，两边同时除以$-6$，解得$m=-1$。
【答案】：-1

8. 将一筐橘子分给若干个小朋友,如果每人分$4$个橘子,则剩下$9$个；如果每人分$6$个橘子,则最后一个小朋友分得的橘子将少于$3$个。由以上可知共有7个小朋友分37个橘子。

答案： 【解析】：设共有$x$个小朋友，则橘子的总数为$(4x + 9)$个。
当每人分$6$个橘子时，前$(x-1)$个小朋友共分得$6(x-1)$个橘子，
那么最后一个小朋友分得的橘子数为：$4x + 9 - 6(x - 1)$。
根据题意，最后一个小朋友分得的橘子少于$3$个，且大于$0$个（因为他是小朋友，至少要分到$1$个橘子，但题目中“少于$3$个”已隐含了这一点），
所以我们可以列出不等式组：
$\begin{cases}4x + 9 - 6(x - 1) ＜ 3 \\4x + 9 - 6(x - 1) \geq 0\end{cases}$
解这个不等式组，我们得到：
从第一个不等式：$4x + 9 - 6x + 6 ＜ 3$，
即$-2x ＜ -12$，
得$x ＞ 6$。
从第二个不等式：$4x + 9 - 6x + 6 \geq 0$，
即$-2x \geq -15$，
得$x \leq 7.5$。
综合两个不等式，我们得到$6 ＜ x \leq 7.5$。
由于$x$必须是整数（因为小朋友的数量不能是小数或分数），所以$x = 7$。
将$x = 7$代入$4x + 9$，得到橘子的总数为$4 × 7 + 9 = 37$。
【答案】：$7$；$37$。