《2025年快乐暑假天天练七年级综合河南专版》

9. 如图所示,网格中有一个四边形和两个三角形.
(1)请你画出这三个图形关于点$O$的中心对称图形；
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请你写出这个整体图形对称轴的条数.这个整体图形至少旋转多少度与自身重合？

答案： 1. （1）
中心对称图形的画法：
对于四边形：设四边形的四个顶点为$A$、$B$、$C$、$D$，连接$AO$并延长到$A'$，使$OA' = OA$；连接$BO$并延长到$B'$，使$OB' = OB$；连接$CO$并延长到$C'$，使$OC' = OC$；连接$DO$并延长到$D'$，使$OD' = OD$，然后顺次连接$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，得到四边形关于点$O$的中心对称图形。
对于三角形：设三角形的三个顶点为$E$、$F$、$G$，连接$EO$并延长到$E'$，使$OE' = OE$；连接$FO$并延长到$F'$，使$OF' = OF$；连接$GO$并延长到$G'$，使$OG' = OG$，然后顺次连接$E'$、$F'$、$G'$，得到三角形关于点$O$的中心对称图形。（另一个三角形同理）
2. （2）
解：
观察图形可知，这个整体图形对称轴的条数是$4$条。
因为$360^{\circ}÷4 = 90^{\circ}$，所以这个整体图形至少旋转$90^{\circ}$与自身重合。
综上，（2）中对称轴的条数是$4$条，至少旋转$90^{\circ}$与自身重合。

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B＞∠C$,$AD⊥BC$,垂足为$D$,$AE平分∠BAC$.已知$∠B= 65^{\circ }$,$∠DAE= 20^{\circ }$,求$∠C$的度数.

答案： 解：因为$AD\perp BC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD=180^{\circ}-\angle B - \angle ADB=180^{\circ}-65^{\circ}-90^{\circ}=25^{\circ}$。
因为$\angle DAE = 20^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE=25^{\circ}+20^{\circ}=45^{\circ}$。
又因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAC = 2\angle BAE=2×45^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle C+\angle BAC = 180^{\circ}$，即$65^{\circ}+\angle C+90^{\circ}=180^{\circ}$，
移项可得$\angle C=180^{\circ}-65^{\circ}-90^{\circ}=25^{\circ}$。
综上，$\angle C$的度数为$25^{\circ}$。