《2025年快乐暑假天天练七年级综合河南专版》

10. 解下列不等式(组):
(1)$10-4(x-3)≤2(x-1);$
(2)$\left\{\begin{array}{l} 5x-4＞3(x-4),\\ \frac {1}{2}x+2＜4-\frac {3}{2}x.\end{array} \right. $

答案： 【解析】：
(1) 对于不等式$10-4(x-3)≤2(x-1)$，
去括号得：$10 - 4x + 12 \leqslant 2x - 2$，
移项合并同类项得：$-6x \leqslant -24$，
系数化为1得：$x \geqslant 4$；
(2) 对于不等式组
$\left\{\begin{array}{l}5x - 4 \gt 3(x - 4) \quad (①) \\frac{1}{2}x + 2 \lt 4 - \frac{3}{2}x \quad (②) \\\end{array}\right.$
由(①)得：$5x - 4 \gt 3x - 12$，
移项合并同类项得：$2x \gt -8$，
系数化为1得：$x \gt -4$；
由(②)得：$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x \lt 4 - 2$，
合并同类项得：$2x \lt 2$，
系数化为1得：$x \lt 1$；
综合(①)和(②)的解，不等式组的解集为：$-4 \lt x \lt 1$。
【答案】：
(1) $x \geqslant 4$；
(2) $-4 \lt x \lt 1$。

11. 如图,在$△ABC$中,AD 平分$∠BAC$,P 为线段 AD 上的一个动点,$PE⊥AD$交直线 BC 于点 E.
(1)若$∠B= 35^{\circ },∠ACB= 85^{\circ }$,求$∠E$的度数;
(2)当 P 点在线段 AD 上运动时,设$∠B= α,∠ACB= β(β＞α)$,求$∠E$的度数.(用含α,β的代数式表示)

答案： 【解析】：
(1) 在$△ABC$中，$∠B=35^{\circ}$，$∠ACB=85^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$∠BAC=180^{\circ}-∠B -∠ACB=180^{\circ}-35^{\circ}-85^{\circ}=60^{\circ}$。
因为AD平分$∠BAC$，所以$∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=30^{\circ}$。
在$△ABD$中，$∠ADC=∠B +∠BAD=35^{\circ}+30^{\circ}=65^{\circ}$（三角形外角性质）。
又因为$PE⊥AD$，所以$∠DPE=90^{\circ}$，在$△DPE$中，$∠E=180^{\circ}-∠DPE -∠ADC=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
(2) 设$∠B=α$，$∠ACB=β(β＞α)$，在$△ABC$中，$∠BAC=180^{\circ}-α -β$。
AD平分$∠BAC$，则$∠BAD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-α -β)=90^{\circ}-\frac{α +β}{2}$。
在$△ABD$中，$∠ADC=∠B +∠BAD=α +90^{\circ}-\frac{α +β}{2}=90^{\circ}+\frac{α -β}{2}$。
因为$PE⊥AD$，$∠DPE=90^{\circ}$，在$△DPE$中，$∠E=180^{\circ}-90^{\circ}-∠ADC=90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{α -β}{2})=\frac{β -α}{2}$。
【答案】：
(1)$25^{\circ}$；
(2)$\frac{β -α}{2}$