《2025年快乐暑假天天练七年级综合河南专版》

1. 解方程$\frac {x+1}{2}-\frac {2x-3}{6}= 1$,去分母正确的是(D)
A.$3(x+1)-2x-3= 6$
B.$3(x+1)-2x-3= 1$
C.$3(x+1)-(2x-3)= 12$
D.$3(x+1)-(2x-3)= 6$

答案： 【解析】：
首先，我们需要找到一个公共分母来消去方程中的分数。
给定的方程是：
$\frac {x+1}{2}-\frac {2x-3}{6}= 1$
为了去分母，我们需要找到两个分数的最小公倍数，这里是6。
接下来，我们将方程的每一项都乘以6：
$6 × \frac {x+1}{2} - 6 × \frac {2x-3}{6} = 6 × 1$
这可以简化为：
$3(x+1) - (2x-3) = 6$
这与选项D相匹配。
【答案】：D

2. 若“$\triangle$”是新规定的某种运算符号,设$x\triangle y= xy+x+y$,则$2\triangle m= -16$中,$m$的值为(-6)
A.8
B.-8
C.6
D.-6

答案： 【解析】：根据题目中新规定的运算符号“$\triangle$”，有$x\triangle y=xy+x+y$。
将$x=2$，$y=m$代入得：
$2\triangle m = 2m + 2 + m = 3m + 2$，
由题意知$2\triangle m = -16$，所以：
$3m + 2 = -16$，
移项得：
$3m = -16 - 2$，
$3m = -18$，
除以3得：
$m = -6$。
【答案】：-6

3. 若关于$x的方程5x-2m= -4-x$的解在2与10之间,则$m$的取值范围是(C)
A.$m＞8$
B.$m＜32$
C.$8\lt m＜32$
D.$m＜8或m＞32$

答案： 【解析】：
首先解方程$5x - 2m = -4 - x$，
移项得：$6x = 2m - 4$，
从而得到：$x = \frac{2m - 4}{6} = \frac{m - 2}{3}$，
根据题意，方程的解$x$在$2$与$10$之间，即：
$2 ＜ \frac{m - 2}{3} ＜ 10$，
解这个不等式组，我们得到：
$6 ＜ m - 2 ＜ 30$，
进一步解得：
$8 ＜ m ＜ 32$。
【答案】：C.$8\lt m＜32$。

4. 下列不等式总成立的是(C)
A.$4a＞2a$
B.$a＞0$
C.$-\frac {1}{2}a^{2}≤0$
D.$a^{2}≤a$

答案： 【解析】：
A. 对于 $4a ＞ 2a$，当 $a ＞ 0$ 时，不等式成立；当 $a = 0$ 时，$4a = 2a$，不等式不成立；当 $a ＜ 0$ 时，不等式不成立。因此，A 选项不总是成立。
B. 对于 $a ＞ 0$，显然不是对所有实数 $a$ 都成立，因为 $a$ 可以是任何实数，包括负数和零。所以 B 选项不总是成立。
C. 对于 $-\frac{1}{2}a^{2} \leq 0$，由于 $a^{2} \geq 0$（任何实数的平方都是非负的），所以 $-\frac{1}{2}a^{2} \leq 0$ 总是成立。
D. 对于 $a^{2} \leq a$，当 $0 \leq a \leq 1$ 时，不等式成立；但当 $a ＞ 1$ 或 $a ＜ 0$ 时，不等式不成立。因此，D 选项不总是成立。
【答案】：C

5. 如果要用边长相同的正三角形和正方形两种图形进行平面密铺,那么至少需要(B)
A. 2个正三角形,3个正方形

B. 3个正三角形,2个正方形

C. 2个正三角形,2个正方形

D. 3个正三角形,3个正方形

答案： 1. 首先明确正多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$（$n\geqslant3$且$n$为整数），以及正多边形每个内角的度数公式$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$：
对于正三角形：
$n = 3$，根据$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$，可得正三角形每个内角$\alpha=\frac{(3 - 2)×180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$。
对于正方形：
$n = 4$，根据$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$，可得正方形每个内角$\beta=\frac{(4 - 2)×180^{\circ}}{4}=90^{\circ}$。
2. 然后设用$x$个正三角形，$y$个正方形进行平面密铺：
根据平面密铺的条件（在一个拼接点处，各角之和为$360^{\circ}$），则有$60x + 90y=360$（$x,y$为正整数）。
对$60x + 90y = 360$进行化简：
方程两边同时除以$30$，得到$2x + 3y = 12$，则$x=\frac{12 - 3y}{2}=6-\frac{3y}{2}$。
因为$x,y$是正整数：
当$y = 2$时，$x=\frac{12-3×2}{2}=\frac{12 - 6}{2}=3$。
所以至少需要$3$个正三角形，$2$个正方形，答案是B。

6. 若不等式组$\left\{\begin{array}{l} 2x-a＜1,\\ x-2b＞3\end{array} \right. 的解集为-1\lt x＜1$,那么$(a+1)(b-1)$的值等于____-6.

答案： 【解析】：解不等式组$\left\{\begin{array}{l} 2x - a ＜ 1 \\ x - 2b ＞ 3 \end{array}\right.$，
解第一个不等式$2x - a ＜ 1$，移项得$2x ＜ a + 1$，解得$x ＜ \frac{a + 1}{2}$；
解第二个不等式$x - 2b ＞ 3$，移项得$x ＞ 2b + 3$。
所以不等式组的解集为$2b + 3 ＜ x ＜ \frac{a + 1}{2}$。
已知不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 1$，因此可得：
$\begin{cases} 2b + 3 = -1 \\ \frac{a + 1}{2} = 1 \end{cases}$
解第一个方程$2b + 3 = -1$，移项得$2b = -1 - 3 = -4$，解得$b = -2$；
解第二个方程$\frac{a + 1}{2} = 1$，两边同时乘以$2$得$a + 1 = 2$，解得$a = 1$。
则$(a + 1)(b - 1) = (1 + 1)(-2 - 1) = 2×(-3) = -6$。
【答案】：-6

7. 如图,将长方形$ABCD绕点A顺时针旋转到长方形AB'C'D'$的位置,旋转角为$\alpha (0^{\circ }＜\alpha ＜90^{\circ })$.若$∠1= 110^{\circ }$,则$\alpha =$20°.

答案： 1. 首先，根据长方形的性质：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AD// BC$。
又因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle ADC+\angle1 = 180^{\circ}$。
已知$\angle1 = 110^{\circ}$，则$\angle ADC=180^{\circ}-\angle1 = 70^{\circ}$。
2. 然后，根据旋转的性质：
长方形$ABCD$绕点$A$顺时针旋转到长方形$AB'C'D'$的位置，所以$\angle DAD'=\alpha$，$\angle ADC=\angle AD'C' = 70^{\circ}$，$\angle D'AB'=\angle DAB = 90^{\circ}$。
在四边形$AB'C'D'$中，$\angle B'AD'+\angle AD'C'+\angle C'+\angle AB'C' = 360^{\circ}$，且$\angle C'=\angle AB'C' = 90^{\circ}$。
另一种方法：
连接$AC$，$AC'$，由旋转可知$\triangle ABC\cong\triangle AB'C'$，$\angle CAC'=\alpha$。
因为$AD// BC$，所以$\angle DAC=\angle ACB$。
又因为$\angle1=\angle ACB + \angle ACC'$（外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），且$AC = AC'$，所以$\angle ACC'=\angle AC'C$。
由于$\angle D'=\angle D = 90^{\circ}$，$\angle1 = 110^{\circ}$，在四边形$AB'C'D'$中，$\angle B'AD'+\angle AD'C'+\angle C'+\angle AB'C' = 360^{\circ}$，$\angle AD'C'=\angle ADC = 70^{\circ}$，$\angle AB'C'=\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle B'AD'=\angle BAD+\angle DAD'$。
我们还可以利用邻补角和旋转角的关系：
因为$\angle1$的邻补角为$180 - 110=70^{\circ}$，在长方形$AB'C'D'$中，$\angle D' = 90^{\circ}$。
设$\angle DAD'=\alpha$，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，在四边形$AB'ED$（$E$为$C'D'$与$CD$交点）中，$\angle AB'E = 90^{\circ}$，$\angle ADE = 90^{\circ}$，$\angle B'ED=\angle1 = 110^{\circ}$。
而$\angle B'AD'=360^{\circ}-\angle AB'E-\angle ADE - \angle B'ED=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
又因为$\angle B'AD'=\angle BAD+\angle DAD'$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\alpha=\angle DAD'=20^{\circ}$。
故答案为$20$。

8. 解不等式组并写出不等式组的整数解.

答案： 1. 首先解不等式$①$：
对于不等式$x - 1\geq1 - x$，
移项可得：$x+x\geq1 + 1$（根据不等式两边同时加$x$和加$1$，不等号方向不变）。
合并同类项得：$2x\geq2$。
两边同时除以$2$，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，得$x\geq1$。
2. 然后解不等式$②$：
对于不等式$x + 8\gt4x-1$，
移项可得：$x-4x\gt - 1 - 8$（根据不等式两边同时减$4x$和减$8$，不等号方向不变）。
合并同类项得：$-3x\gt - 9$。
两边同时除以$-3$，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得$x\lt3$。
3. 最后求不等式组的解集：
综合不等式$①$的解$x\geq1$和不等式$②$的解$x\lt3$，根据“大小小大中间找”的原则，不等式组$\begin{cases}x - 1\geq1 - x\\x + 8\gt4x-1\end{cases}$的解集为$1\leq x\lt3$。
所以不等式组的整数解为$x = 1$，$x = 2$。
综上，不等式组的解集是$1\leq x\lt3$，整数解是$1$，$2$。