《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

例题 2 某市准备对某道路进行改造,若甲工程队单独做此工程需 4 个月完成,乙工程队单独做此工程需 6 个月完成.现甲、乙两队先合作 2 个月,然后甲工程队到期撤离,乙工程队单独完成剩余工程,则乙工程队单独完成剩余工程需几个月？
 

答案： 【解析】：
本题主要考查一元一次方程的应用。
设乙工程队单独完成剩余工程需$x$个月。
首先，我们确定甲、乙两队的工作效率。
甲工程队单独做需4个月完成，所以甲的工作效率是$\frac{1}{4}$（即每个月完成$\frac{1}{4}$的工程）；
乙工程队单独做需6个月完成，所以乙的工作效率是$\frac{1}{6}$（即每个月完成$\frac{1}{6}$的工程）。
接下来，我们根据题目描述建立方程。
甲、乙两队先合作了2个月，所以他们合作完成的工作量是$2 × (\frac{1}{4} + \frac{1}{6})$；
然后乙工程队单独完成了剩余的工程，即$\frac{1}{6}x$。
整个工程的工作量是1，所以我们有方程：
$2 × (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) + \frac{1}{6}x = 1$
解这个方程，我们得到：
$\frac{1}{6}x = 1 - 2 × (\frac{1}{4} + \frac{1}{6})$
$\frac{1}{6}x = 1 - \frac{5}{6}$
$\frac{1}{6}x = \frac{1}{6}$
$x = 1$
【答案】：
乙工程队单独完成剩余工程需1个月。

例题 3 学校组织植树活动,已知在甲处植树的有 23 人,在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援,使在甲处植树的人数比在乙处植树人数的 2 倍多 3 人,应调往甲、乙两处各多少人？
 

答案： 【解析】：
本题主要考查一元一次方程在实际问题中的应用。
首先，根据题目描述，设应调往甲处$x$人，那么调往乙处的人数就是$20 - x$人。
接着，根据题目中的条件“甲处植树的人数比乙处植树人数的2倍多3人”，可以列出方程：
$23 + x = 2[17 + (20 - x)] + 3$
解这个方程，就可以得到$x$的值，进而知道应调往甲、乙两处各多少人。
【答案】：
解：设应调往甲处$x$人，则调往乙处$(20 - x)$人。
依题意，得
$23 + x = 2[17 + (20 - x)] + 3$
展开方程，得
$23 + x = 2 × 17 + 2 × (20 - x) + 3$
$23 + x = 34 + 40 - 2x + 3$
移项并合并同类项，得
$3x = 54$
解得
$x = 18$
所以，$20 - x = 20 - 18 = 2$。
答：应调往甲处18人，乙处2人。

例题 4 某区举行中学生足球联赛,每队均需赛 8 场,胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.在这次足球联赛中,平安队踢平的场数是其负场数的 2 倍,共得 17 分,试问该队胜了几场？
该队胜了5场。

答案： 【解析】：本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键。
本题的数量关系是：胜场数+负场数+平场数=8，平场数=2×负场数，胜场积分+负场积分+平场积分=17。
设负场数为$x$，则平场数为$2x$，胜场数为$8 - x - 2x$。
根据胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，以及总积分为17分，可以列出方程：
$3(8 - x - 2x) + 2x = 17$。
展开并整理方程得：
$24 - 3x - 6x + 2x = 17$，
$-7x = -7$，
$x = 1$。
将$x = 1$代入胜场数的表达式$8 - x - 2x$中，得到：
$8 - 1 - 2 × 1 = 5$。
所以，该队胜了5场。
【答案】：该队胜了5场。