《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

例题2 若$2x^{2}+3x - 7的值为- 10$,则$6x^{2}+9x + 7$的值为-2。

答案： 【解析】：
本题主要考查代数式的求值。题目给出了一个等式$2x^{2}+3x - 7 = -10$，要求我们通过这个等式来求解另一个代数式$6x^{2}+9x + 7$的值。这里我们可以采用整体代入的方法，即先解出$2x^{2}+3x$的值，然后将其整体代入到$6x^{2}+9x + 7$中进行计算。
根据题目给出的等式$2x^{2}+3x - 7 = -10$，我们可以将其改写为$2x^{2}+3x = -3$。
接下来，我们将$2x^{2}+3x$看作一个整体，记作A，即$A = 2x^{2}+3x = -3$。
然后，我们将A代入到$6x^{2}+9x + 7$中，得到$6x^{2}+9x + 7 = 3A + 7$。
最后，我们将A的值$-3$代入上式，得到$3×(-3) + 7 = -9 + 7 = -2$。
【答案】：
$-2$

例题3 如图,已知长方形的宽为$r$,长为半圆的直径,半圆的半径为$r$。(半径$r和圆的面积S之间的关系式是S = \pi r^{2}$)

(1)试用代数式表示阴影部分的面积；
(2)当$r = 4$时,求阴影部分的面积。
 

答案： 【解析】：本题主要考查代数式的建立与求值。
(1) 首先，需要表示阴影部分的面积。
阴影部分由长方形的面积减去半圆的面积得到。
长方形的宽为r，长为半圆的直径，即2r。
所以长方形的面积为 $2r \cdot r = 2r^{2}$。
半圆的半径为r，所以半圆的面积为 $\frac{1}{2}\pi r^{2}$。
因此，阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，
即 $2r^{2} - \frac{1}{2}\pi r^{2}$。
(2) 当 $r = 4$ 时，将r的值代入到阴影部分的面积公式中，
得到 $2×4^{2} - \frac{1}{2}\pi×4^{2} = 32 - 8\pi$。
【答案】：
(1) $S_{\text{阴影}} = 2r^{2} - \frac{1}{2}\pi r^{2}$；
(2) 当 $r = 4$ 时，$S_{\text{阴影}} = 32 - 8\pi$。

＞ 变式练3 当鱼儿跃出平静的水面时,水面上会泛起层层的圆形波纹。我们看到,随着圆形波纹半径的不断增大,圆形波纹所覆盖的面积也在不断地扩大。(半径$r和圆的面积S之间的关系式是S = \pi r^{2}$)
＞ (1)完成下表。
|圆的半径$r$/米|1|1.2|2|2.5|3|5|…|
|圆的面积$S$/平方米|$\pi$|$1.44\pi$| | | | |…|
＞ (2)对于$r$的每一个值,都能确定一个$S$的值吗？请举例说明。
 

答案： 【解析】：
本题主要考查了代数式的值以及圆的面积公式。
(1) 对于每一个给定的圆的半径$r$，我们都可以使用圆的面积公式$S = \pi r^{2}$来计算对应的圆的面积$S$。
具体地，当$r=1$时，$S=\pi × 1^{2} = \pi$；
当$r=1.2$时，$S=\pi × 1.2^{2} = 1.44\pi$；
当$r=2$时，$S=\pi × 2^{2} = 4\pi$；
当$r=2.5$时，$S=\pi × 2.5^{2} = 6.25\pi$；
当$r=3$时，$S=\pi × 3^{2} = 9\pi$；
当$r=5$时，$S=\pi × 5^{2} = 25\pi$。
(2) 对于$r$的每一个值，我们都可以通过圆的面积公式$S = \pi r^{2}$来确定一个唯一的$S$的值。
例如，当$r=3.5$时，我们可以通过公式计算出$S=\pi × 3.5^{2} = 12.25\pi$，即对于$r$的每一个值，我们都能找到一个与之对应的$S$的值。
【答案】：
(1)
|圆的半径$r$/米|1|1.2|2|2.5|3|5|…|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|圆的面积$S$/平方米|$\pi$|$1.44\pi$|$4\pi$|$6.25\pi$|$9\pi$|$25\pi$|…|
(2) 对于$r$的每一个值，都能确定一个$S$的值。例如，当$r=3.5$时，$S=\pi × 3.5^{2} = 12.25\pi$。