《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

例题 1 解方程：$\frac{4x + 9}{5} - \frac{0.3 + 0.2x}{0.3} = \frac{x - 5}{2}$。
 

答案： 【解析】：
本题主要考查了一元一次方程的解法，包括分数的消除、去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1等步骤。
首先，我们需要将方程中的小数分数转化为整数分数，以简化计算。
然后，通过去分母，消去方程中的分数。
接着，去括号，将方程展开。
之后，通过移项和合并同类项，将方程化简为一次方程的一般形式。
最后，将系数化为1，求出$x$的值。
【答案】：
解：
原方程为：
$\frac{4x + 9}{5} - \frac{0.3 + 0.2x}{0.3} = \frac{x - 5}{2}$
将方程左边第二项的分子、分母都乘10，得到：
$\frac{4x + 9}{5} - \frac{3 + 2x}{3} = \frac{x - 5}{2}$
去分母，得：
$6(4x + 9) - 10(3 + 2x) = 15(x - 5)$
去括号，得：
$24x + 54 - 30 - 20x = 15x - 75$
移项、合并同类项，得：
$-11x = -99$
系数化为1，得：
$x = 9$

例题 2 解关于$x$的方程：$2m - (m + n)x = (m - n)x$。
 

答案： 【解析】：
此题主要考查了一元一次方程的解法，特别是当方程中包含多个字母时，需要明确哪个是未知数，哪个是已知数。
首先，需要将方程$2m - (m + n)x = (m - n)x$中的$x$项移到等式的同一边，这是解一元一次方程的基本步骤。
然后，合并同类项，得到$2mx = 2m$。
接下来，需要对$m$进行分类讨论。
当$m \neq 0$时，可以将方程两边同时除以$2m$，得到$x = 1$。
当$m = 0$时，方程变为$0 \cdot x = 0$，这是一个恒等式，无论$x$取何值都成立，所以此时方程有无穷多个解。
【答案】：
当$m \neq 0$时，$x = 1$；
当$m = 0$时，方程有无穷多个解。

例题 3 用整体思想解方程：$3(2x - 3) - \frac{1}{3}(3 - 2x) = 5(3 - 2x) + \frac{1}{2}(2x - 3)$。
 

答案： 【解析】：
本题考查的是利用整体思想解一元一次方程。
首先，设$y = 2x - 3$，将原方程中的$2x - 3$和$3 - 2x$分别替换为$y$和$-y$，从而简化方程。
然后，通过移项、合并同类项和系数化为1等步骤，解出$y$的值。
最后，将$y$的值代回到$y = 2x - 3$中，解出$x$的值。
【答案】：
解：设$y = 2x - 3$，
则原方程可以化为：
$3y + \frac{1}{3}y = - 5y + \frac{1}{2}y$
移项、合并同类项，得：
$\left(3 + \frac{1}{3} + 5 - \frac{1}{2}\right)y = 0$
即：
$\frac{47}{6}y = 0$
系数化为1，得：
$y = 0$
将$y$的值代回到$y = 2x - 3$中，得：
$2x - 3 = 0$
解得：
$x = \frac{3}{2}$

已知两个含有待定字母的方程的解相同,可将其中一个方程的解用待定字母表示,代入另一个方程,求出待定字母的值,进而求出方程的解；也可以先用待定字母表示出两个方程的解,由两个方程的解相同求出待定字母的值,从而得到原方程的解。
例题 4 已知关于$x的方程3x - 6(x - \frac{b}{3}) = 4x和\frac{3x + b}{4} - \frac{1 - 5x}{8} = 1$有相同的解,求这个解。
 

答案： 解：解方程$3x - 6(x - \frac{b}{3}) = 4x$，
去括号得：$3x - 6x + 2b = 4x$，
移项合并得：$-7x = -2b$，
解得：$x = \frac{2}{7}b$。
因为两个方程有相同的解，将$x = \frac{2}{7}b$代入$\frac{3x + b}{4} - \frac{1 - 5x}{8} = 1$，
得$\frac{3×\frac{2}{7}b + b}{4} - \frac{1 - 5×\frac{2}{7}b}{8} = 1$，
化简分子得：$\frac{\frac{6}{7}b + b}{4} = \frac{\frac{13}{7}b}{4} = \frac{13b}{28}$，$\frac{1 - \frac{10}{7}b}{8} = \frac{7 - 10b}{56}$，
方程化为：$\frac{13b}{28} - \frac{7 - 10b}{56} = 1$，
去分母得：$26b - (7 - 10b) = 56$，
去括号得：$26b - 7 + 10b = 56$，
移项合并得：$36b = 63$，
解得：$b = \frac{7}{4}$。
将$b = \frac{7}{4}$代入$x = \frac{2}{7}b$，得$x = \frac{2}{7}×\frac{7}{4} = \frac{1}{2}$。
故这个解为$x = \frac{1}{2}$。

例题 5 小明在对方程$\frac{2x - 1}{3} + 1 = \frac{x + a}{2}$去分母时,方程左边的 1 没有乘 6,因而求得的解是$x = 4$,试求$a$的值,并求出方程的正确解。
 

答案： 解：根据题意，小明去分母时方程左边的1没有乘6，得到方程：$2(2x - 1) + 1 = 3(x + a)$
展开得：$4x - 2 + 1 = 3x + 3a$
化简得：$4x - 1 = 3x + 3a$
移项得：$4x - 3x = 3a + 1$
解得：$x = 3a + 1$
因为小明求得的解是$x = 4$，所以$3a + 1 = 4$
解得：$3a = 3$，$a = 1$
将$a = 1$代入原方程$\frac{2x - 1}{3} + 1 = \frac{x + 1}{2}$
去分母，两边同乘6得：$2(2x - 1) + 6 = 3(x + 1)$
展开得：$4x - 2 + 6 = 3x + 3$
化简得：$4x + 4 = 3x + 3$
移项得：$4x - 3x = 3 - 4$
解得：$x = -1$
答：$a$的值为1，方程的正确解为$x = -1$

变式练 1 解方程：$\frac{x - 3}{0.15} - \frac{x + 4}{0.2} = -10$。
 

答案： 【解析】：
这是一个一元一次方程的求解问题，需要消去分母，将方程化为标准形式，然后通过移项、合并同类项等步骤求解。
首先，将方程两边同时乘以$0.15$和$0.2$的最小公倍数$0.3$，以消去分母。
然后，通过移项、去括号、合并同类项等步骤，将方程化简为标准形式。
最后，将方程两边同时除以$x$的系数，得到$x$的解。
【答案】：
解：将方程两边同时乘以$0.3$，得到：
$0.3 × \frac{x - 3}{0.15} - 0.3 × \frac{x + 4}{0.2} = -3$，
即：
$2(x - 3) - 1.5(x + 4) = -3$，
去括号，得：
$2x - 6 - 1.5x - 6 = -3$，
移项、合并同类项，得：
$0.5x = 9$，
将方程两边同时除以$0.5$，得到：
$x = 18$。

变式练 2 解关于$x$的方程：$(2a - 1)x - 5 = 7 - x$。
 

答案： 解：移项，得$(2a - 1)x + x = 7 + 5$，
合并同类项，得$2a x = 12$，
当$a \neq 0$时，$x = \frac{6}{a}$；
当$a = 0$时，方程无解。

变式练 3 解方程：$(x + 1) - \frac{1}{3}(x - 1) = (x - 1) - \frac{1}{4}(x + 1)$。
 

答案： 解：移项，得
$(x + 1) + \frac{1}{4}(x + 1) = (x - 1) + \frac{1}{3}(x - 1)$
合并同类项，得
$\frac{5}{4}(x + 1) = \frac{4}{3}(x - 1)$
去分母，两边同乘12，得
$15(x + 1) = 16(x - 1)$
去括号，得
$15x + 15 = 16x - 16$
移项，得
$15x - 16x = -16 - 15$
合并同类项，得
$-x = -31$
系数化为1，得
$x = 31$