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例题3 中国“神威·太湖之光”计算机最高运行速度为$1250000000$亿次/秒,将数$1250000000$用科学记数法可表示为(
A.$125× 10^{7}$
B.$12.5× 10^{8}$
C.$1.25× 10^{9}$
D.$1.25× 10^{10}$
C
)A.$125× 10^{7}$
B.$12.5× 10^{8}$
C.$1.25× 10^{9}$
D.$1.25× 10^{10}$
答案：
解：科学记数法的表示形式为$a×10^{n}$，其中$1\leqslant|a|\lt10$，$n$为正整数。
将$1250000000$转变为$a×10^{n}$的形式，$a=1.25$，此时小数点向左移动了$9$位，所以$n=9$。
故$1250000000$用科学记数法表示为$1.25×10^{9}$。
答案：C
将$1250000000$转变为$a×10^{n}$的形式，$a=1.25$，此时小数点向左移动了$9$位，所以$n=9$。
故$1250000000$用科学记数法表示为$1.25×10^{9}$。
答案：C
变式练3 (1)同步卫星在赤道上空大约$36000000$米处,用科学记数法表示该数为$\textcolor{red}{\text{
(2)一个整数$5280… 0用科学记数法表示为5.28× 10^{10}$,则原数中“$0$”的个数为$\textcolor{red}{\text{
}$3.6× 10^{7}\text${
}}$。(2)一个整数$5280… 0用科学记数法表示为5.28× 10^{10}$,则原数中“$0$”的个数为$\textcolor{red}{\text{
}$8\text${
}}$。
答案：
【解析】：
(1) 对于第一个问题，需要将给定的数$36000000$转换为科学记数法。
科学记数法的一般形式是$a × 10^{n}$，其中$1 \leq a \lt 10$，$n$是整数。
将$36000000$表示为$3.6 × 10000000$。
进一步将$10000000$写作$10^{7}$。
因此，$36000000$用科学记数法表示为$3.6 × 10^{7}$。
(2) 对于第二个问题，需要将科学记数法$5.28 × 10^{10}$转换回普通表示法，以确定原数中'0'的个数。
$5.28 × 10^{10}$等于$52800000000$。
从右往左数，直到遇到第一个非零数字（这里是5），数出期间'0'的个数，有8个'0'。
但需要注意，由于科学记数法表示时，小数点后保留了两位有效数字（28），因此原数中'0'的个数需要减去这两位有效数字前的0（这里并没有额外的0），所以原数中'0'的个数就是$10-2=8$（因为$10^{10}$表示有10个0，但小数点后有两位于非零数字，因此实际'0'的个数需要减去小数点后的位数）。但更直接的方法是观察转换后的数字$52800000000$，可以看出有8个'0'。
【答案】：
(1) $3.6 × 10^{7}$
(2) 8
(1) 对于第一个问题，需要将给定的数$36000000$转换为科学记数法。
科学记数法的一般形式是$a × 10^{n}$，其中$1 \leq a \lt 10$，$n$是整数。
将$36000000$表示为$3.6 × 10000000$。
进一步将$10000000$写作$10^{7}$。
因此，$36000000$用科学记数法表示为$3.6 × 10^{7}$。
(2) 对于第二个问题，需要将科学记数法$5.28 × 10^{10}$转换回普通表示法，以确定原数中'0'的个数。
$5.28 × 10^{10}$等于$52800000000$。
从右往左数，直到遇到第一个非零数字（这里是5），数出期间'0'的个数，有8个'0'。
但需要注意，由于科学记数法表示时，小数点后保留了两位有效数字（28），因此原数中'0'的个数需要减去这两位有效数字前的0（这里并没有额外的0），所以原数中'0'的个数就是$10-2=8$（因为$10^{10}$表示有10个0，但小数点后有两位于非零数字，因此实际'0'的个数需要减去小数点后的位数）。但更直接的方法是观察转换后的数字$52800000000$，可以看出有8个'0'。
【答案】：
(1) $3.6 × 10^{7}$
(2) 8
例题4 观察下列等式：$2^{1}= 2$,$2^{2}= 4$,$2^{3}= 8$,$2^{4}= 16$,$2^{5}= 32$,$2^{6}= 64$,…。根据这个规律,则$2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2017}$的末位数字是(
A.$0$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
B
)A.$0$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
答案：
【解析】：
首先，我们观察$2^n$的末位数字的规律。从题目给出的等式，我们可以看到$2^1$的末位是$2$，$2^2$的末位是$4$，$2^3$的末位是$8$，$2^4$的末位是$6$，然后$2^5$的末位又回到了$2$，依此类推。这说明$2^n$的末位数字每4个数为一个周期，依次是$2$，$4$，$8$，$6$。
接下来，我们要计算$2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \ldots + 2^{2017}$的末位数字。由于末位数字每4个数为一个周期，我们可以先计算出一个周期内的末位数字和，即$2+4+8+6=20$，其末位数字为$0$。
然后，我们将$2017$除以$4$，得到商为$504$，余数为$1$。这意味着前$2016$个数的末位数字和是$504$个周期的和，即$504 × 20=10080$，其末位数字为$0$。
最后，我们还需要加上$2^{2017}$的末位数字，由于$2017 \mod 4 = 1$，所以$2^{2017}$的末位数字与$2^1$的末位数字相同，即$2$。
因此，$2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \ldots + 2^{2017}$的末位数字就是$0+2=2$。
【答案】：B
首先，我们观察$2^n$的末位数字的规律。从题目给出的等式，我们可以看到$2^1$的末位是$2$，$2^2$的末位是$4$，$2^3$的末位是$8$，$2^4$的末位是$6$，然后$2^5$的末位又回到了$2$，依此类推。这说明$2^n$的末位数字每4个数为一个周期，依次是$2$，$4$，$8$，$6$。
接下来，我们要计算$2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \ldots + 2^{2017}$的末位数字。由于末位数字每4个数为一个周期，我们可以先计算出一个周期内的末位数字和，即$2+4+8+6=20$，其末位数字为$0$。
然后，我们将$2017$除以$4$，得到商为$504$，余数为$1$。这意味着前$2016$个数的末位数字和是$504$个周期的和，即$504 × 20=10080$，其末位数字为$0$。
最后，我们还需要加上$2^{2017}$的末位数字，由于$2017 \mod 4 = 1$，所以$2^{2017}$的末位数字与$2^1$的末位数字相同，即$2$。
因此，$2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \ldots + 2^{2017}$的末位数字就是$0+2=2$。
【答案】：B
变式练4 从$1$开始,将连续的奇数相加,得到的运算有如下规律：$1 = 1^{2}$；$1 + 3 = 4 = 2^{2}$；$1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}$；$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$；$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^{2}$；…。按此规律,请你猜想从$1$开始,将前$15$个奇数(即当最后一个奇数是$29$时)相加,其和是$\textcolor{red}{\text{
225
}}$。
答案：
【解析】：
首先，我们观察给出的数列和它们的和：
$1 = 1^{2}$
$1 + 3 = 2^{2}$
$1 + 3 + 5 = 3^{2}$
$1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2}$
...
由此，我们可以发现一个明显的规律：从1开始，连续n个奇数的和等于n的平方。
对于本题，我们需要求的是从1开始，前15个奇数的和。根据上面的规律，这个和应该等于15的平方。
【答案】：
$1 + 3 + 5 + \ldots + 29 = 15^{2} = 225$
故答案为：$225$。
首先，我们观察给出的数列和它们的和：
$1 = 1^{2}$
$1 + 3 = 2^{2}$
$1 + 3 + 5 = 3^{2}$
$1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2}$
...
由此，我们可以发现一个明显的规律：从1开始，连续n个奇数的和等于n的平方。
对于本题，我们需要求的是从1开始，前15个奇数的和。根据上面的规律，这个和应该等于15的平方。
【答案】：
$1 + 3 + 5 + \ldots + 29 = 15^{2} = 225$
故答案为：$225$。
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